5.4. CHAMPS ET SYSTÈMES HAMILTONIENS
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Démonstration. On calcule
(3)
d
dt
ψ
t
ω
=
ψ
t
L XH ω
=
ψ
t
(di XH ω)
=
ψ
t
(−ddH) = 0.
Donc (ψ
t )
ω ne dépend pas de t et (ψ
t )
ω = (ψ
0 )
ω = ω pour tout t.
Orbites périodiques. Si une trajectoire du flot de X H est périodique de
période 1, pour chacun de ses points, on a
ψ
1 (x) = x,
ce sont donc des points fixes de ψ
1 . Par exemple, les points critiques de H
sont des trajectoires périodiques. Donc le difféomorphisme symplectique ψ
1
a au moins autant de points fixes que la fonction H a de points critiques.
Exemple 5.4.3 (cas d’un hamiltonien quadratique). Considérons le cas d’une
forme quadratique H sur R
2n ,
H =
1
2
a ij p i p j +
b ij p i q j +
1
2
c ij q i q j .
Alors X H est un champ de vecteurs linéaire
X H (p, q) = −
n
i=1
∂H
∂q i
∂
∂p i
+
n
i=1
∂H
∂p i
∂
∂q i
= A ·
p
q
où A est la matrice
A =
−b −c
a
t b
=
0 − Id
Id 0
a
t b
b c
= −J
a
t b
b c
.
La matrice A est donc, à multiplication par la matrice inversible −J près,
la hessienne de H en 0, la matrice de la forme quadratique H. Le flot de X H
est donné par
ψ
t (p, q) = e
tA
·
p
q
.
Notons que ψ
1 = e
A . Donc, si ψ
1 n’a pas la valeur propre 1, A n’a pas la
valeur propre 0 et la forme quadratique H est non dégénérée, ou encore le
point critique de H en 0 est un point critique non dégénéré.
Remarquons que la réciproque est fausse : A pourrait avoir des valeurs
propres 2ikπ, k ∈ Z. Voir par exemple l’exercice 18 page 474.
(3) Voir au besoin le § 14.4.b.