116 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
5.4. Champs de vecteurs hamiltoniens, systèmes hamiltoniens
Si H : W → R est une fonction, la forme symplectique permet de lui
associer un champ de vecteurs, une sorte de gradient, le champ hamiltonien X H (parfois appelé le « gradient symplectique » de H). C’est le champ
de vecteurs défini par la relation
ω x (Y, X H (x)) = (dH) x (Y ) pour tout Y ∈ T x W
(ou par ι XH ω = −dH).
On remarque que le champ X H s’annule en x si et seulement si x est un
point critique de la fonction H :
X H (x) = 0 ⇐⇒ (dH) x = 0.
En particulier, les singularités (ou zéros) d’un champ de vecteurs hamiltonien sont les points critiques d’une fonction.
Le système hamiltonien est le système différentiel associé à ce champ de
vecteurs, c’est-à-dire,
˙
x(t) = X H (x(t)).
On remarque que la fonction H est constante sur les trajectoires ou
courbes intégrales du champ X H : comme ω x est alternée, on a
(dH)(X H ) = 0 ou X H · H = 0.
Les équations de Hamilton. Dans R
2n avec la forme symplectique
dp i ∧ dq i , le système différentiel, prend, dans ces coordonnées (q i , p i ),
la forme
˙
q i =
∂H
∂p i
, ˙
p i = −
∂H
∂q i
.
Ce sont les classiques « équations de Hamilton ».
Exemple 5.4.1 (hamiltoniens « classiques »). On se place sur R
2n avec sa structure symplectique standard et on considère la fonction
H(p, q) =
1
2
p
2 + V (q)
(penser à l’énergie totale, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle). Le système hamiltonien associé est
˙
q = p, ˙
p = −
∂V
∂q
de sorte que p apparaît en effet comme la vitesse (ou l’impulsion) de la
particule dont q décrit la position.
Proposition 5.4.2. Le flot d’un champ de vecteurs hamiltonien est un difféomorphisme qui préserve la forme symplectique.