5.3. EXEMPLES DE VARIÉTÉS SYMPLECTIQUES
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par exemple pour montrer que c’est un espace (séparé et) compact. On a
ainsi un diagramme
S
2n+1
j / /
π
C
n+1
− {0}
P
n (C)
La 2-forme j
ω est forcément dégénérée. Son noyau en x ∈ S
2n+1 est la
droite engendrée par le vecteur ix dans l’espace tangent T x S
2n+1 = x
⊥
(vérification directe) de sorte que (j
ω) x induit une forme bilinéaire non
dégénérée sur l’espace vectoriel quotient T x S
2n+1 /ix qui n’est autre que
l’orthogonal du vecteur x pour la forme hermitienne. D’autre part, la droite
réelle engendrée par ix est aussi le noyau de
T x π : T x S
2n+1
−→ T π(x) P
n (C)
de sorte que la formule
σ [x] (Y, Z) = ω x (
Y ,
Z)
(où x ∈ [x], T x π(
Y ) = Y , T x π(
Z) = Z) définit bien une 2-forme et que l’on
a montré :
Proposition 5.3.1. Il existe une unique 2-forme σ sur P
n (C) telle que
π
σ = j
ω.
C’est une forme symplectique.
Le théorème de Darboux. De même qu’il n’y a qu’un seul type d’espace vectoriel symplectique de dimension 2n, il n’y a, localement, qu’une
seule structure de variété symplectique de dimension 2n, comme l’affirme
un célèbre théorème de Darboux.
Théorème 5.3.2 (de Darboux). Soit x un point d’une variété symplectique
(W, ω). Il existe des coordonnées locales (q 1 , . . . , q n , p 1 , . . . , p n ) centrées en x
dans lesquelles
ω =
dp i ∧ dq i .
Il suffit d’intégrer un champ de vecteurs bien choisi (suivant la méthode
« du chemin » de Moser [50])... Pour une démonstration complète, nous
renvoyons les lecteurs à leurs livres de géométrie symplectique préférés, [43]
ou [5] par exemple.