114 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
est la « forme symplectique canonique » sur le cotangent
(2) . L’exemple de
R
n
× R
n ci-dessus peut être considéré comme le cas où V = R
n .
Les surfaces. Sur une surface W , toutes les formes différentielles de degré 2
sont fermées. De plus, en dimension 2, dire qu’une 2-forme est non dégénérée
veut simplement dire qu’elle ne s’annule en aucun point. Sur une surface,
la notion de forme symplectique coïncide donc avec celle de forme volume :
toutes les surfaces orientables peuvent être considérées comme des variétés
symplectiques.
v
X
Y
Figure 1. Forme symplectique sur la sphère
La sphère. On considère la sphère unité S
2 de R
3 , dont l’espace tangent
en un point v est le plan orthogonal au vecteur unitaire v. On pose
ω v (X, Y ) = v · (X ∧ Y )
(figure 1). C’est une 2-forme non dégénérée (vérification immédiate) et donc
une forme symplectique.
L’espace projectif complexe. Le plus agréable, pour décrire une forme
symplectique sur l’espace projectif complexe, c’est d’utiliser la structure de
quotient de cet espace. Considérons donc
C
n+1 =
p + iq | p ∈ R
n+1 , q ∈ R
n+1
= R
n+1
× R
n+1 ,
muni de la forme symplectique usuelle de R
n+1
× R
n+1 . L’espace projectif
complexe est le quotient
C
n+1
− {0} /x ∼ y ⇐⇒ ∃ λ = 0 tel que y = λx
qu’il est souvent commode de considérer comme quotient de la sphère (compacte),
S
2n+1 /x ∼ y ⇐⇒ ∃ λ ∈ S
1 tel que y = λx
(2) Voilà encore un exemple de forme symplectique exacte, sur une variété non compacte
bien sûr.