5.3. EXEMPLES DE VARIÉTÉS SYMPLECTIQUES
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Démonstration. On a dit que ω est non dégénérée si et seulement si ω
∧n est
une forme volume. Comme W est compacte, on sait que les formes volumes
ne sont pas exactes
(1) . Or, si ω était exacte, on aurait ω = dα, mais alors
la forme volume ω
∧n serait exacte : ω
∧n = d(α ∧ ω
∧(n−1) ).
En réalité, si on veut calculer localement comme dans R
n
× R
n , ce qu’il
faut utiliser, c’est une condition d’« exactitude locale »... c’est-à-dire de
fermeture. Ce qui nous amène à la bonne définition.
Définition 5.2.2. Une variété symplectique est un couple (W, ω) où W est une
variété et ω une 2-forme fermée non dégénérée. Une telle forme ω est dite
symplectique.
Un difféomorphisme ϕ d’une variété symplectique (W 1 , ω 1 ) dans une
autre (W 2 , ω 2 ) est dit symplectique s’il vérifie ϕ
ω 2 = ω 1 . On dit parfois
aussi que ϕ est un symplectomorphisme.
Bien entendu, on commettra souvent l’abus d’appeler W une variété symplectique, sans mentionner la forme ω quand il n’y aura pas d’ambiguïté à
redouter.
5.3. Exemples de variétés symplectiques
Évidemment, R
n
×R
n avec la forme constante
dp i ∧dq i , est une variété
symplectique.
Les cotangents. Si V est une variété, on considère l’espace total de son
fibré cotangent, avec la projection :
π : T
V −→ V.
Sur T
V , il y a une 1-forme différentielle canonique λ, dite forme de
Liouville, définie par :
λ(x, ϕ)(X) = ϕ(T (x,ϕ) π(X))
où x ∈ V , ϕ ∈ T
x V et X ∈ T (x,ϕ) (T
V ). On vérifie aisément que ω = dλ est
non dégénérée (et encore plus aisément qu’elle est fermée !). Si (q 1 , . . . , q n )
sont des coordonnées locales sur V et si (p 1 , . . . , p n ) sont les coordonnées
« duales », alors (p 1 , . . . , p n , q 1 , . . . , q n ) est un système de coordonnées locales dans lequel λ =
p i dq i et ω =
dp i ∧ dq i . On dit souvent que ω
(1) Voir les rudiments de cohomologie de de Rham par exemple dans [37] ou dans le
chapitre VIII du tome I de [66].
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Démonstration. On a dit que ω est non dégénérée si et seulement si ω
∧n est
une forme volume. Comme W est compacte, on sait que les formes volumes
ne sont pas exactes
(1) . Or, si ω était exacte, on aurait ω = dα, mais alors
la forme volume ω
∧n serait exacte : ω
∧n = d(α ∧ ω
∧(n−1) ).
En réalité, si on veut calculer localement comme dans R
n
× R
n , ce qu’il
faut utiliser, c’est une condition d’« exactitude locale »... c’est-à-dire de
fermeture. Ce qui nous amène à la bonne définition.
Définition 5.2.2. Une variété symplectique est un couple (W, ω) où W est une
variété et ω une 2-forme fermée non dégénérée. Une telle forme ω est dite
symplectique.
Un difféomorphisme ϕ d’une variété symplectique (W 1 , ω 1 ) dans une
autre (W 2 , ω 2 ) est dit symplectique s’il vérifie ϕ
ω 2 = ω 1 . On dit parfois
aussi que ϕ est un symplectomorphisme.
Bien entendu, on commettra souvent l’abus d’appeler W une variété symplectique, sans mentionner la forme ω quand il n’y aura pas d’ambiguïté à
redouter.
5.3. Exemples de variétés symplectiques
Évidemment, R
n
×R
n avec la forme constante
dp i ∧dq i , est une variété
symplectique.
Les cotangents. Si V est une variété, on considère l’espace total de son
fibré cotangent, avec la projection :
π : T
V −→ V.
Sur T
V , il y a une 1-forme différentielle canonique λ, dite forme de
Liouville, définie par :
λ(x, ϕ)(X) = ϕ(T (x,ϕ) π(X))
où x ∈ V , ϕ ∈ T
x V et X ∈ T (x,ϕ) (T
V ). On vérifie aisément que ω = dλ est
non dégénérée (et encore plus aisément qu’elle est fermée !). Si (q 1 , . . . , q n )
sont des coordonnées locales sur V et si (p 1 , . . . , p n ) sont les coordonnées
« duales », alors (p 1 , . . . , p n , q 1 , . . . , q n ) est un système de coordonnées locales dans lequel λ =
p i dq i et ω =
dp i ∧ dq i . On dit souvent que ω
(1) Voir les rudiments de cohomologie de de Rham par exemple dans [37] ou dans le
chapitre VIII du tome I de [66].