112 CHAPITRE 5. CE QU’IL FAUT SAVOIR EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
la forme bilinéaire ω est
J =
0 Id
− Id 0
.
Exemple 5.1.2. Si (e 1 , . . . , e n ) est une base orthonormée de R
n , on a
ω((e i , 0), (0, e j )) = δ i,j ,
la base
((e 1 , 0), . . . , (e n , 0), (0, e 1 ), . . . , (0, e n ))
est une base symplectique de R
n
× R
n .
5.2. Variétés symplectiques, définition
Essayons de comprendre ce que pourrait être la définition d’une variété
symplectique. On demandera d’abord que chaque espace tangent soit muni
de la structure vectorielle définie ci-dessus : la variété W sera munie d’une
2-forme différentielle ω, c’est-à-dire, pour chaque x, d’une forme bilinéaire
alternée ω x sur T x W . On veut en plus que chaque ω x soit non dégénérée,
ce qu’on peut écrire, si la dimension, nécessairement paire, de W est 2n,
ω
∧n
x = ∧
n ω x = 0 ∈
2n
T
x W
pour tout x. Autrement dit, on demande que la 2n-forme ω
∧n soit une
forme volume sur W . Notons qu’en particulier, la variété W doit posséder
une forme volume et donc être orientable.
En fait, cette définition est insuffisante : on veut aussi que le calcul différentiel que ω permet de faire sur W soit localement le même que celui
qu’on sait faire sur R
n
× R
n avec la forme « constante ». Écrivons donc
cette forme comme une forme différentielle : les vecteurs de R
n
× R
n sont
notés X = (p, q), X
= (p
, q
) de sorte qu’on a
ω(X, X
) = p · q
− p
· q.
Autrement dit
ω =
n
i=1
dp i ∧ dq i = d
n
i=1
p i dq i
en particulier, ω est une forme exacte. On pourrait demander à une forme
symplectique d’être une forme exacte... malheureusement, ceci interdirait
d’utiliser des variétés compactes. On a en effet :
Proposition 5.2.1. Sur une variété compacte, il n’existe aucune 2-forme qui
soit à la fois non dégénérée et exacte.
la forme bilinéaire ω est
J =
0 Id
− Id 0
.
Exemple 5.1.2. Si (e 1 , . . . , e n ) est une base orthonormée de R
n , on a
ω((e i , 0), (0, e j )) = δ i,j ,
la base
((e 1 , 0), . . . , (e n , 0), (0, e 1 ), . . . , (0, e n ))
est une base symplectique de R
n
× R
n .
5.2. Variétés symplectiques, définition
Essayons de comprendre ce que pourrait être la définition d’une variété
symplectique. On demandera d’abord que chaque espace tangent soit muni
de la structure vectorielle définie ci-dessus : la variété W sera munie d’une
2-forme différentielle ω, c’est-à-dire, pour chaque x, d’une forme bilinéaire
alternée ω x sur T x W . On veut en plus que chaque ω x soit non dégénérée,
ce qu’on peut écrire, si la dimension, nécessairement paire, de W est 2n,
ω
∧n
x = ∧
n ω x = 0 ∈
2n
T
x W
pour tout x. Autrement dit, on demande que la 2n-forme ω
∧n soit une
forme volume sur W . Notons qu’en particulier, la variété W doit posséder
une forme volume et donc être orientable.
En fait, cette définition est insuffisante : on veut aussi que le calcul différentiel que ω permet de faire sur W soit localement le même que celui
qu’on sait faire sur R
n
× R
n avec la forme « constante ». Écrivons donc
cette forme comme une forme différentielle : les vecteurs de R
n
× R
n sont
notés X = (p, q), X
= (p
, q
) de sorte qu’on a
ω(X, X
) = p · q
− p
· q.
Autrement dit
ω =
n
i=1
dp i ∧ dq i = d
n
i=1
p i dq i
en particulier, ω est une forme exacte. On pourrait demander à une forme
symplectique d’être une forme exacte... malheureusement, ceci interdirait
d’utiliser des variétés compactes. On a en effet :
Proposition 5.2.1. Sur une variété compacte, il n’existe aucune 2-forme qui
soit à la fois non dégénérée et exacte.