CHAPITRE 5
CE QU’IL FAUT SAVOIR
EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Il y a de nombreux bons livres de géométrie symplectique, notamment [14] et [43] auxquels nous renvoyons pour les détails qui pourraient
manquer ici.
5.1. Espaces vectoriels symplectiques
Ce sont les espaces vectoriels réels munis de formes bilinéaires alternées
non dégénérées. L’exemple archétypique et, on va le voir, unique, est celui
de R
n
× R
n , muni de la forme
ω((p, q), (p
, q
)) = p · q
− p
· q
(le point · désignant bien sûr le produit scalaire euclidien de R
n ).
En réalité, il n’y a qu’un exemple, comme l’affirme la proposition qui
suit.
Proposition 5.1.1. Soit ω une forme bilinéaire alternée non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension finie. Il existe une base
(e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f n ) (dite symplectique) telle que ω(e i , f j ) = δ i,j , et
ω(e i , e j ) = ω(f i , f j ) = 0.
Démonstration. Comme ω est non dégénérée, elle n’est pas nulle et on peut
trouver deux vecteurs e 1 et f 1 tels que ω(e 1 , f 1 ) = 1. On vérifie que ω se
restreint en une forme non dégénérée à l’orthogonal (pour ω) du plan e 1 , f 1
et on conclut par récurrence sur la dimension, après avoir remarqué qu’une
forme bilinéaire alternée sur un espace de dimension 1 est nulle.
En particulier, la dimension de E est paire et c’est le seul invariant du
type d’isomorphisme de (E, ω). Dans une base symplectique, la matrice de
CE QU’IL FAUT SAVOIR
EN GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Il y a de nombreux bons livres de géométrie symplectique, notamment [14] et [43] auxquels nous renvoyons pour les détails qui pourraient
manquer ici.
5.1. Espaces vectoriels symplectiques
Ce sont les espaces vectoriels réels munis de formes bilinéaires alternées
non dégénérées. L’exemple archétypique et, on va le voir, unique, est celui
de R
n
× R
n , muni de la forme
ω((p, q), (p
, q
)) = p · q
− p
· q
(le point · désignant bien sûr le produit scalaire euclidien de R
n ).
En réalité, il n’y a qu’un exemple, comme l’affirme la proposition qui
suit.
Proposition 5.1.1. Soit ω une forme bilinéaire alternée non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension finie. Il existe une base
(e 1 , . . . , e n , f 1 , . . . , f n ) (dite symplectique) telle que ω(e i , f j ) = δ i,j , et
ω(e i , e j ) = ω(f i , f j ) = 0.
Démonstration. Comme ω est non dégénérée, elle n’est pas nulle et on peut
trouver deux vecteurs e 1 et f 1 tels que ω(e 1 , f 1 ) = 1. On vérifie que ω se
restreint en une forme non dégénérée à l’orthogonal (pour ω) du plan e 1 , f 1
et on conclut par récurrence sur la dimension, après avoir remarqué qu’une
forme bilinéaire alternée sur un espace de dimension 1 est nulle.
En particulier, la dimension de E est paire et c’est le seul invariant du
type d’isomorphisme de (E, ω). Dans une base symplectique, la matrice de