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INTRODUCTION DE LA DEUXIÈME PARTIE
de Morse. Avec ses points critiques, nous tenterons de fabriquer, comme
dans le cas de Morse, un complexe. La graduation sur le Z/2-espace vectoriel
engendré par les points critiques est donnée par l’indice de Maslov, ce qu’il
nous faudra définir (nous le ferons au chapitre 7).
Pour définir la différentielle, nous utiliserons l’analogue d’un champ de
pseudo-gradients, ici le gradient de la fonctionnelle d’action (voir le § 6.4),
dont nous montrerons que les trajectoires d’énergie finie, les solutions de
l’« équation de Floer », relient deux points critiques. Comme dans le cas de
Morse, nous démontrerons une propriété de compacité des espaces de trajectoires (le théorème 6.5.4). Ces espaces de trajectoires donnent, en général,
des variétés, grâce à des propriétés de transversalité (au chapitre 8). Ainsi,
la différentielle du complexe de Floer sera définie.
Pour démontrer que ceci est bien un complexe, c’est-à-dire que ∂ ◦ ∂ = 0,
nous démontrons, comme dans le cas de Morse, une propriété de recollement
(au chapitre 9). Comme dans le cas de Morse toujours, nous démontrerons
au chapitre 11 que l’homologie du complexe enfin défini ne dépend ni de
la fonctionnelle ni du champ de vecteurs choisis. Au préalable, nous aurons
montré au chapitre 10 que, dans le cas d’un hamiltonien C
2 -petit ne dépendant pas du temps, l’homologie de Floer, coïncide avec l’homologie de Morse
de la variété. Ce sera donc vrai en général. L’évidente inégalité de dimensions entre la dimension des espaces vectoriels intervenant dans le complexe
donnera donc le résultat escompté, de façon complètement analogue aux
inégalités de Morse (la proposition 4.4.3).
Ainsi, le complexe de Morse, qui a fait l’objet de la première partie du
livre, est une sorte de guide pour cette deuxième partie. Les objets de l’étude
sont ici beaucoup plus compliqués et nécessitent une analyse (c’est le cas
de le dire) sophistiquée : l’équation de Floer, équation différentielle pour les
« trajectoires de gradient » de la fonctionnelle d’action, est une équation aux
dérivées partielles, à laquelle il est nécessaire d’appliquer des techniques de
régularité elliptique (que nous explicitons au chapitre 12) ; la définition du
complexe requiert le fait que la linéarisation de cette équation fournit des
opérateurs de Fredholm ; la démonstration des propriétés qui permettent
d’affirmer que le complexe de Floer est bien un complexe est beaucoup plus
technique que l’énoncé analogue pour le complexe de Morse.
Nous avons relégué dans un chapitre (que L A T E X a judicieusement choisi
de numéroter 13 et que les lecteurs superstitieux peuvent sauter) quelques
(un certain nombre de) lemmes techniques utilisés notamment dans le recollement.
INTRODUCTION DE LA DEUXIÈME PARTIE
de Morse. Avec ses points critiques, nous tenterons de fabriquer, comme
dans le cas de Morse, un complexe. La graduation sur le Z/2-espace vectoriel
engendré par les points critiques est donnée par l’indice de Maslov, ce qu’il
nous faudra définir (nous le ferons au chapitre 7).
Pour définir la différentielle, nous utiliserons l’analogue d’un champ de
pseudo-gradients, ici le gradient de la fonctionnelle d’action (voir le § 6.4),
dont nous montrerons que les trajectoires d’énergie finie, les solutions de
l’« équation de Floer », relient deux points critiques. Comme dans le cas de
Morse, nous démontrerons une propriété de compacité des espaces de trajectoires (le théorème 6.5.4). Ces espaces de trajectoires donnent, en général,
des variétés, grâce à des propriétés de transversalité (au chapitre 8). Ainsi,
la différentielle du complexe de Floer sera définie.
Pour démontrer que ceci est bien un complexe, c’est-à-dire que ∂ ◦ ∂ = 0,
nous démontrons, comme dans le cas de Morse, une propriété de recollement
(au chapitre 9). Comme dans le cas de Morse toujours, nous démontrerons
au chapitre 11 que l’homologie du complexe enfin défini ne dépend ni de
la fonctionnelle ni du champ de vecteurs choisis. Au préalable, nous aurons
montré au chapitre 10 que, dans le cas d’un hamiltonien C
2 -petit ne dépendant pas du temps, l’homologie de Floer, coïncide avec l’homologie de Morse
de la variété. Ce sera donc vrai en général. L’évidente inégalité de dimensions entre la dimension des espaces vectoriels intervenant dans le complexe
donnera donc le résultat escompté, de façon complètement analogue aux
inégalités de Morse (la proposition 4.4.3).
Ainsi, le complexe de Morse, qui a fait l’objet de la première partie du
livre, est une sorte de guide pour cette deuxième partie. Les objets de l’étude
sont ici beaucoup plus compliqués et nécessitent une analyse (c’est le cas
de le dire) sophistiquée : l’équation de Floer, équation différentielle pour les
« trajectoires de gradient » de la fonctionnelle d’action, est une équation aux
dérivées partielles, à laquelle il est nécessaire d’appliquer des techniques de
régularité elliptique (que nous explicitons au chapitre 12) ; la définition du
complexe requiert le fait que la linéarisation de cette équation fournit des
opérateurs de Fredholm ; la démonstration des propriétés qui permettent
d’affirmer que le complexe de Floer est bien un complexe est beaucoup plus
technique que l’énoncé analogue pour le complexe de Morse.
Nous avons relégué dans un chapitre (que L A T E X a judicieusement choisi
de numéroter 13 et que les lecteurs superstitieux peuvent sauter) quelques
(un certain nombre de) lemmes techniques utilisés notamment dans le recollement.