INTRODUCTION DE LA DEUXIÈME PARTIE
La deuxième partie de ce livre est consacrée à la construction de l’homologie de Floer, en vue de démontrer la conjecture d’Arnold. Celle-ci affirme
précisément que le nombre de trajectoires périodiques de période 1 d’un
champ de vecteurs hamiltonien sur une variété symplectique W est supérieur ou égal à
k
HM k (W ; Z/2).
Nous l’avons dit dès la préface de ce livre, la juxtaposition des inégalités
de Morse et de la conjecture d’Arnold n’est pas fortuite. Et en effet, la
stratégie de démonstration, due à Floer, consiste à exhiber les trajectoires
en question comme points critiques — non plus d’une fonction sur une
variété mais d’une « fonctionnelle
(4) d’action » sur l’espace des lacets sur W
(une trajectoire périodique est, en effet, un lacet sur W ), puis à construire
un complexe (le complexe de Floer) analogue à celui de Morse, dont la
différentielle « compte » les solutions de l’équation de Floer. L’homologie
(dite de Floer) de ce complexe est donc, par construction, reliée au nombre
des trajectoires périodiques. Il faut ensuite montrer que cette homologie est
isomorphe à l’homologie de Morse de la variété.
Nous détaillons cette stratégie page 134, et la mettons en application au
cours de cette partie, mais donnons déjà ici à la fois les grandes lignes de
la démonstration de la conjecture d’Arnold et un panorama du contenu de
cette partie.
La première chose à faire est de construire la « fonctionnelle d’action »
(au § 6.3), sur un espace de lacets sur notre variété, dont les points critiques
soient les solutions périodiques recherchées. C’est l’analogue de la fonction
(4) C’est ainsi qu’il est de tradition depuis Hadamard de nommer les fonctions définies
sur des espaces de dimension infinie.
La deuxième partie de ce livre est consacrée à la construction de l’homologie de Floer, en vue de démontrer la conjecture d’Arnold. Celle-ci affirme
précisément que le nombre de trajectoires périodiques de période 1 d’un
champ de vecteurs hamiltonien sur une variété symplectique W est supérieur ou égal à
k
HM k (W ; Z/2).
Nous l’avons dit dès la préface de ce livre, la juxtaposition des inégalités
de Morse et de la conjecture d’Arnold n’est pas fortuite. Et en effet, la
stratégie de démonstration, due à Floer, consiste à exhiber les trajectoires
en question comme points critiques — non plus d’une fonction sur une
variété mais d’une « fonctionnelle
(4) d’action » sur l’espace des lacets sur W
(une trajectoire périodique est, en effet, un lacet sur W ), puis à construire
un complexe (le complexe de Floer) analogue à celui de Morse, dont la
différentielle « compte » les solutions de l’équation de Floer. L’homologie
(dite de Floer) de ce complexe est donc, par construction, reliée au nombre
des trajectoires périodiques. Il faut ensuite montrer que cette homologie est
isomorphe à l’homologie de Morse de la variété.
Nous détaillons cette stratégie page 134, et la mettons en application au
cours de cette partie, mais donnons déjà ici à la fois les grandes lignes de
la démonstration de la conjecture d’Arnold et un panorama du contenu de
cette partie.
La première chose à faire est de construire la « fonctionnelle d’action »
(au § 6.3), sur un espace de lacets sur notre variété, dont les points critiques
soient les solutions périodiques recherchées. C’est l’analogue de la fonction
(4) C’est ainsi qu’il est de tradition depuis Hadamard de nommer les fonctions définies
sur des espaces de dimension infinie.