6.5. ESPACE DES SOLUTIONS
149
Deuxième temps. Montrons que la limite y est C
∞ et solution du système
hamiltonien ˙
x = X t (x).
Lemme 6.5.9. La limite y vérifie
y(t) − y(0) =
t
0
X t (y(τ ))dτ.
Le résultat attendu découle du lemme puisque celui-ci implique que y,
étant continue, est C
1 , puis C
2 ... et que c’est une solution. Elle est donc C
∞
(un « bootstrapping
(7) » bien visible ici). On obtient ainsi la convergence,
au sens C
0 , vers une solution C
∞ .
Démonstration du lemme. Évaluons la différence
y(t) − y(0) −
t
0
X t (y(τ ))dτ = lim
k→+∞
u k (t) − u k (0) −
t
0
X t (y(τ ))dτ
(c’est l’avantage d’être dans R
m , un espace vectoriel). Ensuite
y(t) − y(0) −
t
0
X t (y(τ ))dτ = lim
k→+∞
t
0
˙
u k (τ )dτ −
t
0
X t (y(τ ))dτ
= lim
k→+∞
t
0
˙
u k (τ ) − X t (u k (τ ))dτ
+ lim
k→+∞
t
0
(X t (u k (τ )) − X t (y(τ ))) dτ
.
Chacun des deux termes tend vers 0. Le fait que u k tende vers y au sens C
0
implique que le deuxième terme tend vers 0. Pour le premier terme, utilisons
le fait que ˙
u k − X t (u k ) L 2 tend vers 0 et l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
t
0
( ˙
u k (τ ) − X τ (u k ))dτ
=
1
0
1 [0,t] ( ˙
u k − X t (u k ))
≤
√
t ˙
u k − X t (u k ) L 2
qui tend bien vers 0.
La convergence C
1 (et même C
∞ ) découle de ces arguments.
(7) Cette expression anglo-saxonne désigne le fait de réussir à se soulever, à entrer en
lévitation, juste en tirant sur ses lacets de chaussures. Elle désigne d’ordinaire ce que
l’on appelle en français la « régularité elliptique », où une solution faible, au sens des
distributions, d’une équation aux dérivées partielles arrive à être automatiquement une
fonction C ∞ . Voir le chapitre 16.
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Deuxième temps. Montrons que la limite y est C
∞ et solution du système
hamiltonien ˙
x = X t (x).
Lemme 6.5.9. La limite y vérifie
y(t) − y(0) =
t
0
X t (y(τ ))dτ.
Le résultat attendu découle du lemme puisque celui-ci implique que y,
étant continue, est C
1 , puis C
2 ... et que c’est une solution. Elle est donc C
∞
(un « bootstrapping
(7) » bien visible ici). On obtient ainsi la convergence,
au sens C
0 , vers une solution C
∞ .
Démonstration du lemme. Évaluons la différence
y(t) − y(0) −
t
0
X t (y(τ ))dτ = lim
k→+∞
u k (t) − u k (0) −
t
0
X t (y(τ ))dτ
(c’est l’avantage d’être dans R
m , un espace vectoriel). Ensuite
y(t) − y(0) −
t
0
X t (y(τ ))dτ = lim
k→+∞
t
0
˙
u k (τ )dτ −
t
0
X t (y(τ ))dτ
= lim
k→+∞
t
0
˙
u k (τ ) − X t (u k (τ ))dτ
+ lim
k→+∞
t
0
(X t (u k (τ )) − X t (y(τ ))) dτ
.
Chacun des deux termes tend vers 0. Le fait que u k tende vers y au sens C
0
implique que le deuxième terme tend vers 0. Pour le premier terme, utilisons
le fait que ˙
u k − X t (u k ) L 2 tend vers 0 et l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
t
0
( ˙
u k (τ ) − X τ (u k ))dτ
=
1
0
1 [0,t] ( ˙
u k − X t (u k ))
≤
√
t ˙
u k − X t (u k ) L 2
qui tend bien vers 0.
La convergence C
1 (et même C
∞ ) découle de ces arguments.
(7) Cette expression anglo-saxonne désigne le fait de réussir à se soulever, à entrer en
lévitation, juste en tirant sur ses lacets de chaussures. Elle désigne d’ordinaire ce que
l’on appelle en français la « régularité elliptique », où une solution faible, au sens des
distributions, d’une équation aux dérivées partielles arrive à être automatiquement une
fonction C ∞ . Voir le chapitre 16.