PRÉFACE
L’homologie de Floer est aujourd’hui une technique indispensable de la
topologie symplectique. Inspirée d’idées de Witten et de Gromov dans les
années 1980, elle a permis depuis de résoudre de nombreux problèmes difficiles, et elle continue de le faire.
Ce livre est consacré à la solution d’un de ces problèmes, une célèbre
conjecture due à Arnold, qui propose de minimiser le nombre de trajectoires
périodiques d’un système hamiltonien par un invariant qui ne dépend que
de la topologie de la variété symplectique sur laquelle évolue ce système.
Cette minoration ressemble beaucoup aux célèbres inégalités de Morse, qui
minorent le nombre de points critiques d’une fonction. Une ressemblance
qui n’a rien de fortuit : l’homologie de Floer est un analogue (en dimension
infinie) de l’homologie de la variété telle qu’elle est calculée par le complexe
de Morse « à la Witten » : le rôle principal est tenu dans les deux cas par
les espaces de modules de trajectoires joignant les points critiques (d’une
fonction pour Morse, d’une fonctionnelle pour Floer).
En 2004–2005, nous avions proposé un cours, deux cours, sur ces notions. Nous avons commencé par la théorie de Morse, bien sûr, il y avait
des étudiants, nous aimions beaucoup le livre de Milnor dans lequel nous
avions l’un et l’autre appris l’existence, la multitude et surtout l’utilité des
fonctions de Morse, nous avons donc commencé à rédiger des notes pour les
étudiants, c’était assez facile...
Et puis, c’est devenu plus difficile — il n’existait aucun livre donnant le
point de vue plus moderne sur l’homologie de Morse, avec la construction et
les propriétés d’invariance du complexe de Morse défini à l’aide des espaces
de trajectoires, qui nous permettrait d’aller vers la construction du complexe
de Floer — copier n’était plus possible, il nous a donc fallu là un peu
d’imagination.
L’homologie de Floer est aujourd’hui une technique indispensable de la
topologie symplectique. Inspirée d’idées de Witten et de Gromov dans les
années 1980, elle a permis depuis de résoudre de nombreux problèmes difficiles, et elle continue de le faire.
Ce livre est consacré à la solution d’un de ces problèmes, une célèbre
conjecture due à Arnold, qui propose de minimiser le nombre de trajectoires
périodiques d’un système hamiltonien par un invariant qui ne dépend que
de la topologie de la variété symplectique sur laquelle évolue ce système.
Cette minoration ressemble beaucoup aux célèbres inégalités de Morse, qui
minorent le nombre de points critiques d’une fonction. Une ressemblance
qui n’a rien de fortuit : l’homologie de Floer est un analogue (en dimension
infinie) de l’homologie de la variété telle qu’elle est calculée par le complexe
de Morse « à la Witten » : le rôle principal est tenu dans les deux cas par
les espaces de modules de trajectoires joignant les points critiques (d’une
fonction pour Morse, d’une fonctionnelle pour Floer).
En 2004–2005, nous avions proposé un cours, deux cours, sur ces notions. Nous avons commencé par la théorie de Morse, bien sûr, il y avait
des étudiants, nous aimions beaucoup le livre de Milnor dans lequel nous
avions l’un et l’autre appris l’existence, la multitude et surtout l’utilité des
fonctions de Morse, nous avons donc commencé à rédiger des notes pour les
étudiants, c’était assez facile...
Et puis, c’est devenu plus difficile — il n’existait aucun livre donnant le
point de vue plus moderne sur l’homologie de Morse, avec la construction et
les propriétés d’invariance du complexe de Morse défini à l’aide des espaces
de trajectoires, qui nous permettrait d’aller vers la construction du complexe
de Floer — copier n’était plus possible, il nous a donc fallu là un peu
d’imagination.