x
PRÉFACE
La première partie du cours terminée à la satisfaction des auditeurs, nous
avons abordé l’homologie de Floer. Les objets et les techniques, que nous,
topologues et géomètres, utilisons tous les jours, de l’homologie de Morse, se
sont transfigurés en objets et techniques de l’homologie de Floer. Le charme,
un des charmes, et la force, de cette théorie, résident en ceci qu’elle utilise,
outre la géométrie et la topologie, beaucoup d’analyse, des opérateurs de
Fredholm et des espaces de Sobolev. Exposer ceci à d’authentiques étudiants
n’est pas une tâche très facile, même en s’y mettant à deux. C’est pourquoi
nous avons décidé de persister à rédiger des notes de cours.
Si de nombreux travaux de recherche ont utilisé et utilisent toujours ces
techniques, si de nombreux étudiants en ont aujourd’hui besoin, il faut bien
dire qu’il n’y avait pas, sur ce sujet-là non plus, de livre raisonnablement
auto-suffisant.
Cinq années se sont écoulées, au cours desquelles nous avons affiné, corrigé, allongé, précisé, majoré, minoré, égalé, comparé, énoncé et démontré
soixante-treize théorèmes, cent vingt et une propositions et cent six lemmes,
dessiné quatre-vingt-dix-huit figures (et posé un certain nombre d’exercices,
dont, contrairement à la coutume, aucun ne contient la démonstration d’un
résultat important « laissé en exercice aux lecteurs »)...
Cinq années se sont écoulées, au cours desquelles d’autres étudiants ont lu
ces notes et nous ont fait des commentaires qui nous ont convaincus qu’elles
répondaient à un besoin et qu’il serait stupide de ne pas les améliorer encore
pour en faire un livre.
Voici ce livre, consacré à la puissance et la gloire des méthodes homologiques à la Morse-Floer.
Ce qu’il faut savoir... Il était difficile de prétendre écrire un ouvrage
auto-suffisant. Pourtant, celui-ci est issu d’un cours professé devant d’authentiques étudiants de mastère — à qui nous avons dû commencer par
« rappeler » ce qu’était une variété. En pensant à eux et à leurs semblables,
nous avons donc regroupé à la fin du livre et en trois chapitres « ce qu’il
faut savoir », les résultats de base que nous utilisons, en géométrie différentielle, topologie algébrique, analyse. Il y a parfois des définitions et/ou des
démonstrations complètes, parfois des indications. Un index devrait aider à
s’y retrouver.
Remerciements. À tous les étudiants qui ont subi ce cours, notamment à
Emily Burgunder, Olivier Dodane, Shanna Li, Alexandre Mouton, Emmanuel Rey, Nelson Souza.
PRÉFACE
La première partie du cours terminée à la satisfaction des auditeurs, nous
avons abordé l’homologie de Floer. Les objets et les techniques, que nous,
topologues et géomètres, utilisons tous les jours, de l’homologie de Morse, se
sont transfigurés en objets et techniques de l’homologie de Floer. Le charme,
un des charmes, et la force, de cette théorie, résident en ceci qu’elle utilise,
outre la géométrie et la topologie, beaucoup d’analyse, des opérateurs de
Fredholm et des espaces de Sobolev. Exposer ceci à d’authentiques étudiants
n’est pas une tâche très facile, même en s’y mettant à deux. C’est pourquoi
nous avons décidé de persister à rédiger des notes de cours.
Si de nombreux travaux de recherche ont utilisé et utilisent toujours ces
techniques, si de nombreux étudiants en ont aujourd’hui besoin, il faut bien
dire qu’il n’y avait pas, sur ce sujet-là non plus, de livre raisonnablement
auto-suffisant.
Cinq années se sont écoulées, au cours desquelles nous avons affiné, corrigé, allongé, précisé, majoré, minoré, égalé, comparé, énoncé et démontré
soixante-treize théorèmes, cent vingt et une propositions et cent six lemmes,
dessiné quatre-vingt-dix-huit figures (et posé un certain nombre d’exercices,
dont, contrairement à la coutume, aucun ne contient la démonstration d’un
résultat important « laissé en exercice aux lecteurs »)...
Cinq années se sont écoulées, au cours desquelles d’autres étudiants ont lu
ces notes et nous ont fait des commentaires qui nous ont convaincus qu’elles
répondaient à un besoin et qu’il serait stupide de ne pas les améliorer encore
pour en faire un livre.
Voici ce livre, consacré à la puissance et la gloire des méthodes homologiques à la Morse-Floer.
Ce qu’il faut savoir... Il était difficile de prétendre écrire un ouvrage
auto-suffisant. Pourtant, celui-ci est issu d’un cours professé devant d’authentiques étudiants de mastère — à qui nous avons dû commencer par
« rappeler » ce qu’était une variété. En pensant à eux et à leurs semblables,
nous avons donc regroupé à la fin du livre et en trois chapitres « ce qu’il
faut savoir », les résultats de base que nous utilisons, en géométrie différentielle, topologie algébrique, analyse. Il y a parfois des définitions et/ou des
démonstrations complètes, parfois des indications. Un index devrait aider à
s’y retrouver.
Remerciements. À tous les étudiants qui ont subi ce cours, notamment à
Emily Burgunder, Olivier Dodane, Shanna Li, Alexandre Mouton, Emmanuel Rey, Nelson Souza.