2. Solutions
Exercice III.7
On note N la norme dans E/ ker T et la norme dans E ou F.
(1) L’exercice II.11 montre que l’application π est bien définie et linéaire continue.
(i) S bien définie.
S est bien définie car S x est indépendant du choix de l’élément x ∈ x. En effet :
u ∈ ker T =⇒ T (x + u) = T x =⇒ S x = T (x + u).
(ii) S continue.
Selon (D 1.21), N( x) = inf(x + u; u ∈ ker T ).
S x = T (x + u), donc S x ≤ ≤T x + u.
En prenant l’inf du membre de droite relativement aux u ∈ ker T , on obtient
S x ≤ ≤T N( x). Comme S est linéaire, ceci établit la continuité de S d’après (P 1.4) et
l’inégalité S ≤ ≤T .
(iii) Norme de S.
On a par définition T = S ◦ π. D’où en prenant les normes opérateur des deux membres :
T ≤ ≤S π ≤ ≤S ,
puisqu’on a trivialement π ≤ 1. D’où S = T .
(2) (i) On doit établir que S est injective et surjective.
(a) S surjective. Par la définition de S , S et T ont les mêmes images ; alors S
est surjective.
(b) S injective. [S x = 0] ⇔ [T x = 0] ⇔ [x ∈ ker T ] ⇔ [ x = 0].
(ii) Par (P 2.15), on doit prouver que si E et F sont deux espaces de Banach et
T ∈ L(E, F) est surjective, alors T est une application ouverte (D 1.11).
Le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16) dit ceci : si G et F sont deux espaces
de Banach et S une bijection continue de G dans F, alors S est un isomorphisme (elle a
un inverse continu).
T vérifie les hypothèses de (2). S est alors une bijection continue entre G = E/ ker T et
F. Or, E est un espace de Banach et G = E/ ker T aussi (cf. Ex. II.11). On peut appliquer
le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16), et S admet un inverse continu ; si Ω est
un ouvert de G, (S
−1 )
−1 (Ω) = S (Ω) est donc un ouvert de F ; ceci montre que S est une
application ouverte.
On revient ensuite à T en écrivant T = S ◦ π.
π est une application ouverte surjective ((P 2.15) et (Ex. II.11)), ainsi que S . Par composition, T est aussi ouverte.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Exercice III.7
On note N la norme dans E/ ker T et la norme dans E ou F.
(1) L’exercice II.11 montre que l’application π est bien définie et linéaire continue.
(i) S bien définie.
S est bien définie car S x est indépendant du choix de l’élément x ∈ x. En effet :
u ∈ ker T =⇒ T (x + u) = T x =⇒ S x = T (x + u).
(ii) S continue.
Selon (D 1.21), N( x) = inf(x + u; u ∈ ker T ).
S x = T (x + u), donc S x ≤ ≤T x + u.
En prenant l’inf du membre de droite relativement aux u ∈ ker T , on obtient
S x ≤ ≤T N( x). Comme S est linéaire, ceci établit la continuité de S d’après (P 1.4) et
l’inégalité S ≤ ≤T .
(iii) Norme de S.
On a par définition T = S ◦ π. D’où en prenant les normes opérateur des deux membres :
T ≤ ≤S π ≤ ≤S ,
puisqu’on a trivialement π ≤ 1. D’où S = T .
(2) (i) On doit établir que S est injective et surjective.
(a) S surjective. Par la définition de S , S et T ont les mêmes images ; alors S
est surjective.
(b) S injective. [S x = 0] ⇔ [T x = 0] ⇔ [x ∈ ker T ] ⇔ [ x = 0].
(ii) Par (P 2.15), on doit prouver que si E et F sont deux espaces de Banach et
T ∈ L(E, F) est surjective, alors T est une application ouverte (D 1.11).
Le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16) dit ceci : si G et F sont deux espaces
de Banach et S une bijection continue de G dans F, alors S est un isomorphisme (elle a
un inverse continu).
T vérifie les hypothèses de (2). S est alors une bijection continue entre G = E/ ker T et
F. Or, E est un espace de Banach et G = E/ ker T aussi (cf. Ex. II.11). On peut appliquer
le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16), et S admet un inverse continu ; si Ω est
un ouvert de G, (S
−1 )
−1 (Ω) = S (Ω) est donc un ouvert de F ; ceci montre que S est une
application ouverte.
On revient ensuite à T en écrivant T = S ◦ π.
π est une application ouverte surjective ((P 2.15) et (Ex. II.11)), ainsi que S . Par composition, T est aussi ouverte.
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Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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