Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
Exercice III.6
(i) (a) ⇒ (b).
Si f =
n
k=1 α k f k où α k ∈ K, alors pour tout x ∈ E, f (x) =
n
k=1 α k f k (x), donc
| f (x)| ≤
n
k=1
|α k | | f k (x)| ≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
n
k=1
|α k |
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ max
k
(| f k (x)|)
de f
= α max
k
(| f k (x)|).
(ii) (b) ⇒ (c).
Supposons que pour tout x ∈ E, | f (x)| ≤ α max k (| f k (x)|). Alors, pour x ∈ ∩
n
k=1 ker( f k ), on
a max k (| f k (x)|) = 0, et donc | f (x)| ≤ α × 0 = 0, i.e. x ∈ ker f .
(iii) (c) ⇒ (a).
Soit T : E → K
n définie par T (x) = ( f 1 (x), . . . , f n (x)), et soit G un supplémentaire du
sous-espace vectoriel T (E). Définissons une forme linéaire l sur T (E) par la formule
l(T (x)) = f (x) pour tout x ∈ E.
On notera que l est définie sans ambiguité : en effet, on a par hypothèse
T (x) = T (y) =⇒ x − y ∈
n
k=1
ker f k =⇒ x − y ∈ ker f =⇒ f (x) = f (y).
Il en résulte aussi que l est linéaire sur T (E) : en effet,
u = T (x), v = T (y) ∈ T (E) =⇒ u + v = T (x + y),
ce qui nous permet d’écrire l(u + v) = f (x + y), soit l(u + v) = f (x) + f (y) = l(u) + l(v) et
l est additive. On montre de même qu’elle est homogène. On la prolonge en une forme
linéaire, toujours notée l, sur K
n tout entier par la formule
l(T (x) + g) = f (x), pour tout x ∈ E, pour tout g ∈ G.
Soit (e 1 , . . . , e n ) la base canonique de K
n et α k = l(e k ), on a alors la relation
l(u 1 , . . . , u n ) =
n
k=1 α k u k pour tous u 1 , . . . , u n ∈ K et en particulier
l(T (x)) = f (x) =
n
k=1
α k f k (x) pour tout x ∈ E, soit f =
n
k=1
α k f k .
(En d’autres termes, f ∈ Im(T
∗ ), où T
∗ est le transposé de T . En effet, on vérifie facilement que l’on a
T
∗ ((α 1 , . . . , α n )) =
n
k=1
α k f k .)
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