2. Solutions
R(x) = a + (b + c + d)x parcourt tous les polynômes de degré ≤ 1 lorsque P parcourt
l’ensemble des polynômes de degré ≤ 3, donc
F = Vect(e 0 , e 1 ) et F
⊥
= Vect(e
2
, e
3 ).
DQ, f = −(c + d) f 1 + c f 2 + d f 3 = c( f 2 − f 1 ) + d( f 3 − f 1 ),
donc G
⊥ est constitué des f tels que f 2 − f 1 = 0 et f 3 − f 1 = 0, soit
G
⊥
= Vect(e
0
, e
1
+ e
2
+ e
3 ).
On vérifie l’égalité E
∗
= F
⊥
⊕ G
⊥ par l’égalité
Vect(e
2
, e
3
, e
0
, e
1
+ e
2
+ e
3 ) = Vect(e
0
, e
1
, e
2
, e
3 ).
Exercice III.5
Il s’agit d’une application possible du théorème de Hahn-Banach géométrique. Rappelons un énoncé de ce théorème : « Soit L un convexe compact d’un espace vectoriel normé E et x un point de E. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes »
(cf. P 3.13) :
1. x ∈ L
2. Pour toute forme linéaire continue f ∈ E
∗ , on a l’inégalité
f (x) ≤ sup
l∈L
f (l)
de f
= M.
(
∗ )
Soit ici L = co(S ) l’enveloppe convexe des 2
n sommets
σ = (ε 1 , . . . , ε n )
de K. C’est un ensemble compact comme image continue de l’espace compact
J = {μ = (μ σ ) σ∈S ; μ σ ≥ 0,
σ∈S μ σ = 1} ⊂ R
S par l’application F définie ainsi
F(μ) =
σ∈S
μ σ σ si μ = (μ σ ) ∈ J,
et la question posée revient à montrer que x ∈ K =⇒ x ∈ L. Soit maintenant f une forme
linéaire (automatiquement continue) sur R
n . On sait qu’il existe f 1 , . . . , f n ∈ R tels que
f (y) =
n
j=1 f j y j , ∀y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R
n . Pour tester (
∗ ) et conclure que x ∈ L, on
majore le premier membre et on minore le second membre du mieux qu’on peut.
(1) (i) Majoration du premier membre. Nous avons évidemment
f (x) =
n
j=1
f j x j ≤
n
j=1
| f j | |x j | ≤
n
j=1
| f j |.
(ii) Minoration du second membre. Soit ε j = ±1 des signes tels que ε j f j = | f j |
et soit τ = (ε 1 , . . . , ε n ) ∈ S . Alors, on a
M ≥ f (τ) =
n
j=1
ε j f j =
n
j=1
| f j | ≥ f (x), CQFD.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
77