Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
Ceci montre que M
⊥ est un sous-espace fermé de E
∗ .
(ii) F
⊥
∩ G
⊥
= {0}.
Soit x ∈ E, il existe y ∈ F, z ∈ G uniques tels que x = y+z. Soit maintenant f ∈ F
⊥
∩G
⊥ ,
alors y, f = 0 et z, f = 0, donc x, f = 0.
Ceci montre que f annule tous les vecteurs de E. On obtient f = 0.
(iii) F
⊥
+ G
⊥ remplit E
∗ .
Soit h ∈ E
∗ , on cherche à lui associer des éléments f ∈ F
⊥
, g ∈ G
⊥ de sorte que h = f +g.
Pour cela, si x = y + z selon la notation de (ii), on utilise la projection P {E → E, x → y}.
C’est un élément de L(E).
L’application composée hP = h ◦ P appartient à E
∗ et pour tout z ∈ G, on a Pz = 0, donc
h(Pz) = z, hP = 0. g = hP est ainsi un élément de G
⊥ .
De même pour tout y ∈ F, h(I − P)y = 0. Soit f = h(I − P) ∈ F
⊥ .
On a obtenu l’écriture h = f + g cherchée. Ceci assure le caractère de sommme directe
algébrique de F
⊥ et G
⊥ .
(iv) F
⊥
+ G
⊥
= F
⊥
⊕ G
⊥
= E
∗ .
La définition de f et g entraîne la continuité des applications h → f et h → g, donc la
valeur de somme directe topologique permettant d’écrire G
∗
= F
⊥
⊕ G
⊥ . (On peut aussi
affirmer ce caractère de somme directe topologique en utilisant la proposition (P 2.8) ;
l’espace de Banach est somme directe algébrique de sous-espaces fermés, donc est automatiquement somme directe topologique.)
(2) (i) On vérifie le caractère de norme de la norme proposée ; il s’agit de la norme
∞ dans un espace vectoriel de dimension 4 relativement à la base (e j , j = 0, 1, 2, 3).
Si e j (x) = x
j
, (III.2) conduit à la relation
P(x) = x(x − 1)(c + d + dx) + (a + (b + c + d)x),
soit encore
R = ae 0 + (b + c + d)e 1 et DQ = P − R = −(c + d)e 1 + ce 2 + de 3 .
On a alors
R = max(|a|, |b + c + d|) ≤ max(|a|, (|b| + |c| + |d|))
≤ 3 max(|a|, |b|, |c|, |d|) = 3P.
Donc A ≤ 3. L’égalité est obtenue si a = b = c = d = 1, d’où A = 3.
(ii) E
∗ sera muni de la base duale (e
j
, j = 0, 1, 2, 3), e k , e
j
= δ k, j , où δ est le
symbole de Kronecker. Pour f = Σ
3
j=0 f j e
j , on a f = Σ
3
j=0 | f j |.
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