2. Solutions
Pour la norme de A g comme élément de (E ∞ )
∗ , on procède de façon analogue : d’abord,
|A g ( f )| = |
1
0
f (t)g(t)dt| ≤ ≤ f ∞ g 1 , d’où A g ≤ ≤g 1 . Ensuite, pour ε > 0, on considère f = f ε ∈ E ∞ définie par f (t) =
g(t)
|g(t)|+ε
, qui vérifie f ∞ ≤ 1. On a donc
A g ≥ |A g ( f )| =
1
0
|g(t)|
2
|g(t)| + ε
dt ≥
1
0
|g(t)|
2
− ε
2
|g(t)| + ε
dt
=
1
0
(|g(t)| − ε)dt = g 1 − ε,
ce qui implique A g = g 1 , en faisant tendre ε vers 0.
(3) L’application B n’est pas de la catégorie étudiée en (2) puisque la continuité en 0
de la fonction g n’est pas assurée.
(i) B est bien définie.
Comme f est continue sur [0, 1], elle est bornée. Si f ∞ = a, alors
pour tout ε > 0,
1
ε
| f (t)|
√
t
dt ≤ a
1
ε
1
√
t
dt ≤ 2a ; donc, ε étant arbitrairement petit, l’intégrale (généralisée) de
f (t)
√
t
sur ]0, 1] est absolument convergente, et par suite convergente :
l’intégrale
1
0+
f (t)
√
t
dt = lim ε→0
1
ε
f (t)
√
t
dt a bien un sens.
(ii) B n’est pas continue.
Si B était continue, intuitivement elle se prolongerait à l’espace L
1 ([0, 1]), en particulier
on pourrait définir B( f ) pour f (t) = t
−
1
2 , ce qui serait absurde, car
1
0
1
t
dt = ∞. Mais, à
cause de la valeur t = 0, f E 1 . On a donc envie de tronquer la fonction f précédente et
de considérer, pour tout n ∈ N
∗
, f n ∈ E 1 définie ainsi :
Pour tout t ∈ [0, 1], f n (t) = min(n, t
−
1
2 ).
Nous avons, d’une part, f n 1 ≤
1
0
t
−
1
2 dt = 2, et d’autre part, B f n ≥
1
1
n 2
1
t
dt = 2 log n,
puisque t ≥
1
n 2 =⇒ f n (t) = t
−
1
2 . Ceci montre que B, linéaire, n’est pas bornée sur les
parties bornées de E 1 , et n’est donc pas continue.
Exercice III.4
(1) La justification de l’écriture de E
∗ sous forme de somme directe topologique
(D 1.17, D 2.10) demande plusieurs contrôles.
(i) M
⊥ sous-espace fermé. (valable pour M = F ou M = G).
On remarque pour cela que, si x ∈ M, alors l’application x
∗∗ définie par x
∗∗
{E
∗
→ C,
f → →x, f } est linéaire continue (plongement de E dans E
∗∗ selon (P 2.10)), et qu’ on a
par définition
M
⊥
=
x∈M
ker x
∗∗
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Pour la norme de A g comme élément de (E ∞ )
∗ , on procède de façon analogue : d’abord,
|A g ( f )| = |
1
0
f (t)g(t)dt| ≤ ≤ f ∞ g 1 , d’où A g ≤ ≤g 1 . Ensuite, pour ε > 0, on considère f = f ε ∈ E ∞ définie par f (t) =
g(t)
|g(t)|+ε
, qui vérifie f ∞ ≤ 1. On a donc
A g ≥ |A g ( f )| =
1
0
|g(t)|
2
|g(t)| + ε
dt ≥
1
0
|g(t)|
2
− ε
2
|g(t)| + ε
dt
=
1
0
(|g(t)| − ε)dt = g 1 − ε,
ce qui implique A g = g 1 , en faisant tendre ε vers 0.
(3) L’application B n’est pas de la catégorie étudiée en (2) puisque la continuité en 0
de la fonction g n’est pas assurée.
(i) B est bien définie.
Comme f est continue sur [0, 1], elle est bornée. Si f ∞ = a, alors
pour tout ε > 0,
1
ε
| f (t)|
√
t
dt ≤ a
1
ε
1
√
t
dt ≤ 2a ; donc, ε étant arbitrairement petit, l’intégrale (généralisée) de
f (t)
√
t
sur ]0, 1] est absolument convergente, et par suite convergente :
l’intégrale
1
0+
f (t)
√
t
dt = lim ε→0
1
ε
f (t)
√
t
dt a bien un sens.
(ii) B n’est pas continue.
Si B était continue, intuitivement elle se prolongerait à l’espace L
1 ([0, 1]), en particulier
on pourrait définir B( f ) pour f (t) = t
−
1
2 , ce qui serait absurde, car
1
0
1
t
dt = ∞. Mais, à
cause de la valeur t = 0, f E 1 . On a donc envie de tronquer la fonction f précédente et
de considérer, pour tout n ∈ N
∗
, f n ∈ E 1 définie ainsi :
Pour tout t ∈ [0, 1], f n (t) = min(n, t
−
1
2 ).
Nous avons, d’une part, f n 1 ≤
1
0
t
−
1
2 dt = 2, et d’autre part, B f n ≥
1
1
n 2
1
t
dt = 2 log n,
puisque t ≥
1
n 2 =⇒ f n (t) = t
−
1
2 . Ceci montre que B, linéaire, n’est pas bornée sur les
parties bornées de E 1 , et n’est donc pas continue.
Exercice III.4
(1) La justification de l’écriture de E
∗ sous forme de somme directe topologique
(D 1.17, D 2.10) demande plusieurs contrôles.
(i) M
⊥ sous-espace fermé. (valable pour M = F ou M = G).
On remarque pour cela que, si x ∈ M, alors l’application x
∗∗ définie par x
∗∗
{E
∗
→ C,
f → →x, f } est linéaire continue (plongement de E dans E
∗∗ selon (P 2.10)), et qu’ on a
par définition
M
⊥
=
x∈M
ker x
∗∗
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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