Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
par 1 donc avoir f à support réduit au point t = 1. Cela ne conduit qu’à la fonction nulle,
puisque f est continue.
Par contre on peut approcher 1 en choisissant f à support proche de 1. Par exemple
f ε (t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
s i t ≤ 1 − ε
2ε
−2 (t − 1 + ε) si t > 1 − ε
(faire le graphe) est telle que f ε 1 = 1 et
1
0
t f ε (t)dt =
1
1−ε
t f ε (t)dt ≥ 1 − ε.
On obtient : pour tout ε > 0,
A f ε 1
f ε 1
≥
1−ε
1 , donc A 1 = 1, bien que la norme de A ne soit
atteinte sur aucun vecteur.
(2) La question (1) est un cas particulier de (2). On cherche le même type de majoration.
(i) A g continue.
Puisque g est continue sur [0, 1], intervalle compact de R, elle est bornée. Sa borne
supérieure (en module) est g ∞ .
|A g ( f )| = |
1
0
g(t) f (t)dt| ≤ ≤g ∞ f 1 .
A g est donc bornée, c’est un élément de (E 1 )
∗ de norme majorée par g ∞ .
(ii) A g .
On cherche à établir l’égalité A g = g ∞ . On peut supposer g non identiquement nulle.
Soit 0 < ε < g ∞ . Puisque la fonction g est continue sur un ensemble compact, elle
atteint sa borne supérieure g ∞ en un point t 0 : |g(t 0 )| = g ∞ . Soit J = [t 1 , t 2 ] un
intervalle infini (i.e. t 1 < t 2 ) contenant t 0 , assez petit pour que g vérifie t ∈ J =⇒ |g(t)| ≥
g ∞ − ε > 0. Puis soit u une fonction continue positive, par exemple une fonction
triangle, nulle hors de J et telle que u 1 = 1 ; on choisit alors f ainsi (argument de g
« localisé ») :
f (t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
g(t)
|g(t)| u(t) si t ∈ J
0
s it J
On observe que f ∈ E 1 et que | f (t)| = u(t) pour tout t ∈ [0, 1], par suite f 1 = u 1 = 1.
On a donc
A g ≥
1
0
f (t)g(t)dt
=
J
f (t)g(t)dt
=
J
|g(t)|u(t)dt
≥ (g ∞ − ε)
J
u(t)dt = g ∞ − ε.
En faisant tendre ε vers 0, on obtient bien A g = g ∞ . Mais on remarque que, sauf si
le maximum de |g(t)| est atteint sur un intervalle non réduit à un point, la norme de A g
n’est pas atteinte.
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par 1 donc avoir f à support réduit au point t = 1. Cela ne conduit qu’à la fonction nulle,
puisque f est continue.
Par contre on peut approcher 1 en choisissant f à support proche de 1. Par exemple
f ε (t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
s i t ≤ 1 − ε
2ε
−2 (t − 1 + ε) si t > 1 − ε
(faire le graphe) est telle que f ε 1 = 1 et
1
0
t f ε (t)dt =
1
1−ε
t f ε (t)dt ≥ 1 − ε.
On obtient : pour tout ε > 0,
A f ε 1
f ε 1
≥
1−ε
1 , donc A 1 = 1, bien que la norme de A ne soit
atteinte sur aucun vecteur.
(2) La question (1) est un cas particulier de (2). On cherche le même type de majoration.
(i) A g continue.
Puisque g est continue sur [0, 1], intervalle compact de R, elle est bornée. Sa borne
supérieure (en module) est g ∞ .
|A g ( f )| = |
1
0
g(t) f (t)dt| ≤ ≤g ∞ f 1 .
A g est donc bornée, c’est un élément de (E 1 )
∗ de norme majorée par g ∞ .
(ii) A g .
On cherche à établir l’égalité A g = g ∞ . On peut supposer g non identiquement nulle.
Soit 0 < ε < g ∞ . Puisque la fonction g est continue sur un ensemble compact, elle
atteint sa borne supérieure g ∞ en un point t 0 : |g(t 0 )| = g ∞ . Soit J = [t 1 , t 2 ] un
intervalle infini (i.e. t 1 < t 2 ) contenant t 0 , assez petit pour que g vérifie t ∈ J =⇒ |g(t)| ≥
g ∞ − ε > 0. Puis soit u une fonction continue positive, par exemple une fonction
triangle, nulle hors de J et telle que u 1 = 1 ; on choisit alors f ainsi (argument de g
« localisé ») :
f (t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
g(t)
|g(t)| u(t) si t ∈ J
0
s it J
On observe que f ∈ E 1 et que | f (t)| = u(t) pour tout t ∈ [0, 1], par suite f 1 = u 1 = 1.
On a donc
A g ≥
1
0
f (t)g(t)dt
=
J
f (t)g(t)dt
=
J
|g(t)|u(t)dt
≥ (g ∞ − ε)
J
u(t)dt = g ∞ − ε.
En faisant tendre ε vers 0, on obtient bien A g = g ∞ . Mais on remarque que, sauf si
le maximum de |g(t)| est atteint sur un intervalle non réduit à un point, la norme de A g
n’est pas atteinte.
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