Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
Exercice III.8
(1) On note I l’ensemble des f ∈ E
∗ telles que ker f ⊃ M, et G = ∩ f ∈I ker f .
(i) M ⊆ G.
f est une application continue, donc ker( f ) est un sous-espace fermé de E ; l’inclusion
M ⊆ ker( f ) implique M ⊆ ker( f ). Ainsi l’inclusion M ⊆ G est vraie.
(ii) G ⊆ M.
Soit y M, dans H y = Vect(y, M) on définit g linéaire telle que y, g = 1 et pour tout
z ∈ M, z, g = 0. g est continue (P 3.7) et, par le théorème de Hahn-Banach (P 3.4), g est
prolongeable en un élément f ∈ E
∗
. ker( f ) contient M et ne contient pas y, donc y G.
On a l’inclusion cherchée.
(2) On a donc montré en (1) que
f ∈I
ker f = M.
L’égalité M = E équivaut donc à l’égalité ker f = E pour tout f ∈ I, donc à l’égalité
f = 0 pour tout f ∈ I, ce qui prouve l’équivalence demandée.
Exercice III.9
(1) On applique la définition de la norme de f :
||x n − x, f ≤ ≤ f x n − x.
Ceci entraîne l’implication demandée.
(2) (i) Espace de dimension finie.
Soit (e 1 , . . . , e d ) une base de E, et (ϕ 1 , . . . , ϕ d ) la base duale, composée de formes linéaires continues, puisque E est de dimension finie. Si une suite (x n ) de E vérifie
x n , f → →x , f pour tout f ∈ E
∗ , on a
x n =
d
k=1
x n , ϕ k e k →
d
k=1
x, ϕ k e k = x,
ce qui établit l’équivalence demandée.
(ii) Cas de contradiction.
Il convient de chercher un exemple d’espace de dimension infinie. Soit par exemple
2
muni de sa base (hilbertienne) canonique (e n , n ∈ N
∗ ) où e n = (e n ( j)) j∈N ∗ avec e n (n) = 1
et e n ( j) = 0 si j n. On sait que le dual de
2 s’identifie à
2 (P 2.11) ; un élément
f ∈ (
2 )
∗ est donné par la suite de nombres complexes f j = e j , f telle que l’on ait
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Exercice III.8
(1) On note I l’ensemble des f ∈ E
∗ telles que ker f ⊃ M, et G = ∩ f ∈I ker f .
(i) M ⊆ G.
f est une application continue, donc ker( f ) est un sous-espace fermé de E ; l’inclusion
M ⊆ ker( f ) implique M ⊆ ker( f ). Ainsi l’inclusion M ⊆ G est vraie.
(ii) G ⊆ M.
Soit y M, dans H y = Vect(y, M) on définit g linéaire telle que y, g = 1 et pour tout
z ∈ M, z, g = 0. g est continue (P 3.7) et, par le théorème de Hahn-Banach (P 3.4), g est
prolongeable en un élément f ∈ E
∗
. ker( f ) contient M et ne contient pas y, donc y G.
On a l’inclusion cherchée.
(2) On a donc montré en (1) que
f ∈I
ker f = M.
L’égalité M = E équivaut donc à l’égalité ker f = E pour tout f ∈ I, donc à l’égalité
f = 0 pour tout f ∈ I, ce qui prouve l’équivalence demandée.
Exercice III.9
(1) On applique la définition de la norme de f :
||x n − x, f ≤ ≤ f x n − x.
Ceci entraîne l’implication demandée.
(2) (i) Espace de dimension finie.
Soit (e 1 , . . . , e d ) une base de E, et (ϕ 1 , . . . , ϕ d ) la base duale, composée de formes linéaires continues, puisque E est de dimension finie. Si une suite (x n ) de E vérifie
x n , f → →x , f pour tout f ∈ E
∗ , on a
x n =
d
k=1
x n , ϕ k e k →
d
k=1
x, ϕ k e k = x,
ce qui établit l’équivalence demandée.
(ii) Cas de contradiction.
Il convient de chercher un exemple d’espace de dimension infinie. Soit par exemple
2
muni de sa base (hilbertienne) canonique (e n , n ∈ N
∗ ) où e n = (e n ( j)) j∈N ∗ avec e n (n) = 1
et e n ( j) = 0 si j n. On sait que le dual de
2 s’identifie à
2 (P 2.11) ; un élément
f ∈ (
2 )
∗ est donné par la suite de nombres complexes f j = e j , f telle que l’on ait
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