1. Énoncés
(3) Soit g ∈ N, g 0, et T : E → E défini par T f = f − φ( f )g. Montrer que T est
linéaire, bijectif, non continu de E dans E.
(4) Pour f ∈ E, on note f T = T f ∞ .
(i) Montrer que T est une norme sur E et que E muni de cette norme est un
espace de Banach.
(ii) Les normes T et ∞ sont-elles équivalentes sur E ?
Exercice III.11
(1) Soit E = C([0, 1]) l’espace de Banach des fonctions complexes continues sur [0, 1]
avec la norme du sup, et D = {z ∈ C tels que |z| < 1}. Pour z ∈ D et t ∈ [0, 1], on pose :
f z (t) =
1
1−zt
. Montrer que f z ∈ E et que f z s’écrit comme un série convergente (dans E) :
f z =
∞
n=0
z
n
ϕ n , avec ϕ n (t) = t
n pour tout n ∈ N, ϕ n ∈ E.
(2) Soit L ∈ E
∗ , le dual topologique de E, et F : D → C définie par F(z) = L( f z ).
Montrer que,
pour tout z ∈ D, F(z) =
∞
n=0
L(ϕ n )z
n
.
(3) Soit (z k ) k≥1 une suite de points distincts de D, avec sup k |z k | = r < 1, ainsi que
M = Vect( f z k , k ≥ 1). On se propose de montrer que M est dense dans E, en utilisant le
critère de l’Ex. III.8. Soit donc L ∈ E
∗ nulle sur M, et F(z) = L( f z ) la fonction associée.
(i) Montrer que F(z k ) = 0 pour tout k ∈ N
∗ .
(ii) Montrer que L(ϕ n ) = 0 pour tout n ∈ N.
(iii) Montrer que L = 0 et conclure.
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