Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
(i) Montrer que S est une bijection.
(ii) En déduire une démonstration du « Théorème de l’application ouverte »
(P 2.15) en utilisant le « Théorème d’isomorphisme de Banach » (P 2.16),
et les résultats de l’Ex. II.11.
Exercice III.8
Soit E un espace normé et M un sous-espace vectoriel de E. M désigne l’adhérence de
M dans E.
(1) Montrer que M =
{ker( f ); f ∈ E
∗ et M ⊆ ker( f )}.
(2) En déduire que M est dense dans E si et seulement si toute forme linéaire continue
sur E qui s’annule sur M s’annule sur E. Avec des symboles :
M = E ⇐⇒ M
⊥
= {0}.
Exercice III.9
Soit E un espace de Banach et (x n ) n≥0 une suite de E.
(1) Justifier l’implication :
si x n → x dans E, alors pour toute f ∈ E
∗
, x n , f → →x, f .
(2) Montrer que si E est de dimension finie la réciproque de l’implication de (1) est
valable, mais que, dans le cas général, elle est fausse (construire un exemple).
(3) Supposons que
Il existe x ∈ E tel que pour toute f ∈ E
∗
, x n , f → →x, f .
Montrer que x ∈ Vect(x n , n ≥ 0) (adhérence du sous-espace vectoriel engendré par
{x n , n ≥ 0}).
Exercice III.10
Soit E = C([0, 1]) l’espace des fonctions complexes continues sur [0, 1] muni de la
norme uniforme : f ∞ = sup(| f (x)|; x ∈ [0, 1]). Soit M le sous-espace vectoriel de E
formé des polynômes.
(1) Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel N de E tel que M ∩ N = {0} et
E = M + N (utiliser le lemme de Zorn P 3.10).
Dans la suite, un tel N est fixé.
(2) Soit φ : E → C définie par
φ( f ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
n
j=0 ja j si f =
n
j=0 a j x
j
∈ M
0
s i f ∈ N
φ(k)
si f = k + u, k ∈ M, u ∈ N
Montrer que φ est une forme linéaire non continue sur E.
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