1. Énoncés
(2) Un exemple : E est l’espace des polynômes à coefficients complexes de degré
inférieur ou égal à 3, et (e j , e j (x) = x
j
, j = 0, 1, 2, 3) est sa base usuelle.
La norme sur E est définie par :
P = max(|a|, |b|, |c|, |d|) si P(x) = a + bx + cx
2
+ dx
3
.
(III.1)
L’identité de la division euclidienne par D, D(x) = x(x − 1) est écrite
P = DQ + R
(III.2)
et on pose : F = {R; P ∈ E}, G = {DQ; P ∈ E}.
(i) Montrer que E = F ⊕ G. Quelle est la norme de la projection associée
A : {E → E, P → R} ? (On trouvera A = 3).
(ii) Quels sont les sous-espaces F
⊥ et G
⊥ ?
Exercice III.5
Soit K = [−1, 1]
n le cube unité de R
n et S = {σ = (ε 1 , . . . , ε n ); ε j = ±1} l’ensemble
de ses sommets. Montrer que tout point x ∈ K peut s’écrire comme une combinaison
convexe de sommets
x =
σ∈S
λ σ σ avec λ σ ≥ 0 et
σ∈S
λ σ = 1.
Exercice III.6
Soit E un K-espace vectoriel avec K = R ou C et f, f 1 , f 2 , . . . , f n des formes linéaires
sur E.
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(a) f =
n
k=1 α k f k où α k ∈ K,
(b) Il existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ E, | f (x)| ≤ α max k | f k (x)|,
(c)
n
k=1 ker( f k ) ⊆ ker( f ).
(Pour prouver (c) ⇒ (a), on pourra considérer T : E → K
n définie par
T (x) = ( f 1 (x), . . . , f n (x)).)
Exercice III.7
Soit E et F deux espaces de Banach et T ∈ L(E, F).
Soit l’application π : {E → E/ ker T, x → x} et S : {E/ ker T → F, x → T x}, où
ker T = {x ∈ E; T x = 0} (On observera que T = S ◦ π).
(1) Montrer que S est bien définie et continue. Quelle est sa norme ?
(2) On suppose T surjective.
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(2) Un exemple : E est l’espace des polynômes à coefficients complexes de degré
inférieur ou égal à 3, et (e j , e j (x) = x
j
, j = 0, 1, 2, 3) est sa base usuelle.
La norme sur E est définie par :
P = max(|a|, |b|, |c|, |d|) si P(x) = a + bx + cx
2
+ dx
3
.
(III.1)
L’identité de la division euclidienne par D, D(x) = x(x − 1) est écrite
P = DQ + R
(III.2)
et on pose : F = {R; P ∈ E}, G = {DQ; P ∈ E}.
(i) Montrer que E = F ⊕ G. Quelle est la norme de la projection associée
A : {E → E, P → R} ? (On trouvera A = 3).
(ii) Quels sont les sous-espaces F
⊥ et G
⊥ ?
Exercice III.5
Soit K = [−1, 1]
n le cube unité de R
n et S = {σ = (ε 1 , . . . , ε n ); ε j = ±1} l’ensemble
de ses sommets. Montrer que tout point x ∈ K peut s’écrire comme une combinaison
convexe de sommets
x =
σ∈S
λ σ σ avec λ σ ≥ 0 et
σ∈S
λ σ = 1.
Exercice III.6
Soit E un K-espace vectoriel avec K = R ou C et f, f 1 , f 2 , . . . , f n des formes linéaires
sur E.
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(a) f =
n
k=1 α k f k où α k ∈ K,
(b) Il existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ E, | f (x)| ≤ α max k | f k (x)|,
(c)
n
k=1 ker( f k ) ⊆ ker( f ).
(Pour prouver (c) ⇒ (a), on pourra considérer T : E → K
n définie par
T (x) = ( f 1 (x), . . . , f n (x)).)
Exercice III.7
Soit E et F deux espaces de Banach et T ∈ L(E, F).
Soit l’application π : {E → E/ ker T, x → x} et S : {E/ ker T → F, x → T x}, où
ker T = {x ∈ E; T x = 0} (On observera que T = S ◦ π).
(1) Montrer que S est bien définie et continue. Quelle est sa norme ?
(2) On suppose T surjective.
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