Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
(1) Montrer que f ∈ F et a ∈ Z =⇒ |M N ( f − T a f )| ≤
2|a|
2N+1 f ∞ .
(2) Montrer que f ∈ V =⇒ lim N→∞ M N ( f ) = λ 0 ne dépend pas de la décomposition
choisie pour f . On pose L( f ) = λ 0 . Montrer que L est une forme linéaire continue sur V
et que de plus L = L(e) = 1.
(3) Montrer qu’il existe une forme linéaire continue et positive M sur F (i.e.
f ≥ 0 =⇒ M( f ) ≥ 0), que l’on appelle une « moyenne de Banach », avec les propriétés suivantes :
M( f ) = L( f ) ∀ f ∈ V; M(e) = M = 1; M( f ) = M(T a f ) ∀a ∈ Z, ∀ f ∈ F.
(4) Montrer que M ne provient pas d’un élément de E. Ainsi, E n’est pas réflexif.
Exercice III.3
Soit E l’espace vectoriel des fonctions complexes continues sur [0, 1].
On note E ∞ l’espace E muni de la norme f ∞ = sup(| f (t)|; t ∈ [0, 1]).
On note E 1 l’espace E muni de la norme f 1 =
1
0
| f (t)|dt.
(1) Soit A l’application {E → C, f →
1
0
t f (t)dt}.
Montrer que A est un élément de (E 1 )
∗ , dual topologique de E 1 , et de (E ∞ )
∗ , dual
topologique de E ∞ (cf. D 2.9).
Dans chacun des espaces considérés, quelle est la norme de A ? Est-elle atteinte pour
un vecteur normé, i.e. existe-t-il
f ∈ E avec f = 1, et A f = A?
(2) Soit g ∈ E, on lui associe l’application A g : {E 1 → C, f →
1
0
g(t) f (t)dt}.
Montrer que A g est un élément de (E 1 )
∗ . Quelle est sa norme ? Est-elle atteinte ? Même
question en considérant A g comme élément de (E ∞ )
∗ .
(3) Soit B l’application donnée par {E → C, f →
1
0+
f (t)
√
t
dt}.
Montrer que B est bien définie sur E, mais n’est pas continue.
Exercice III.4
E est un espace de Banach, E
∗ désigne son dual (topologique). Si M est un sousensemble de E, M
⊥
= { f ∈ E
∗
, ∀y ∈ M, y, f = 0} est l’orthogonal, ou le polaire,
de M (D 2.10).
(1) Soient F, G deux sous- espaces de Banach de E, tels que E = F ⊕ G (cf. D 1.12).
Montrer que E
∗
= F
⊥
⊕ G
⊥ .
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(1) Montrer que f ∈ F et a ∈ Z =⇒ |M N ( f − T a f )| ≤
2|a|
2N+1 f ∞ .
(2) Montrer que f ∈ V =⇒ lim N→∞ M N ( f ) = λ 0 ne dépend pas de la décomposition
choisie pour f . On pose L( f ) = λ 0 . Montrer que L est une forme linéaire continue sur V
et que de plus L = L(e) = 1.
(3) Montrer qu’il existe une forme linéaire continue et positive M sur F (i.e.
f ≥ 0 =⇒ M( f ) ≥ 0), que l’on appelle une « moyenne de Banach », avec les propriétés suivantes :
M( f ) = L( f ) ∀ f ∈ V; M(e) = M = 1; M( f ) = M(T a f ) ∀a ∈ Z, ∀ f ∈ F.
(4) Montrer que M ne provient pas d’un élément de E. Ainsi, E n’est pas réflexif.
Exercice III.3
Soit E l’espace vectoriel des fonctions complexes continues sur [0, 1].
On note E ∞ l’espace E muni de la norme f ∞ = sup(| f (t)|; t ∈ [0, 1]).
On note E 1 l’espace E muni de la norme f 1 =
1
0
| f (t)|dt.
(1) Soit A l’application {E → C, f →
1
0
t f (t)dt}.
Montrer que A est un élément de (E 1 )
∗ , dual topologique de E 1 , et de (E ∞ )
∗ , dual
topologique de E ∞ (cf. D 2.9).
Dans chacun des espaces considérés, quelle est la norme de A ? Est-elle atteinte pour
un vecteur normé, i.e. existe-t-il
f ∈ E avec f = 1, et A f = A?
(2) Soit g ∈ E, on lui associe l’application A g : {E 1 → C, f →
1
0
g(t) f (t)dt}.
Montrer que A g est un élément de (E 1 )
∗ . Quelle est sa norme ? Est-elle atteinte ? Même
question en considérant A g comme élément de (E ∞ )
∗ .
(3) Soit B l’application donnée par {E → C, f →
1
0+
f (t)
√
t
dt}.
Montrer que B est bien définie sur E, mais n’est pas continue.
Exercice III.4
E est un espace de Banach, E
∗ désigne son dual (topologique). Si M est un sousensemble de E, M
⊥
= { f ∈ E
∗
, ∀y ∈ M, y, f = 0} est l’orthogonal, ou le polaire,
de M (D 2.10).
(1) Soient F, G deux sous- espaces de Banach de E, tels que E = F ⊕ G (cf. D 1.12).
Montrer que E
∗
= F
⊥
⊕ G
⊥ .
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