THÉORÈME DE
HAHN-BANACH,
APPROCHES ET
APPLICATIONS
III
1 ÉNONCÉS
Exercice III.1
Soit E, F deux espaces de Banach, et T : E → F linéaire.
Montrer qu’on a, E
∗ et F
∗ désignant les duaux topologiques de E et F :
[T est continue] ⇔ [∀ f ∈ F
∗
, f ◦ T ∈ E
∗ ]
(Pour ⇐ on peut utiliser le théorème du graphe fermé (P 2.17)).
Exercice III.2 : Moyennes de Banach
Soit E =
1 (Z) l’espace des séries absolument convergentes g = (g(n)) n∈Z de nombres
complexes, muni de la norme
1 définie par g 1 =
n∈Z |g(n)|, et soit F =
∞ (Z) l’espace des suites bornées f = ( f (n)) n∈Z de nombres complexes, muni de la norme ∞
définie par f ∞ = sup n∈Z | f (n)|. On sait que F s’identifie au dual de E par la formule
(cf. D 1.15) :
f, g =
n∈Z
f (n)g(n) ∀ f ∈ F, ∀g ∈ E,
et on se propose de montrer que E n’est pas réflexif, c’est-à-dire qu’il existe des formes
linéaires continues sur F qui ne proviennent pas d’un élément de E. Pour des entiers
N ∈ N et a ∈ Z, on définit la forme linéaire M N : F → C de « moyenne d’ordre N » et
l’opérateur T a : F → F de « translation par a » par les formules :
M N ( f ) =
1
2N + 1
|n|≤N
f (n) et T a f (n) = f (n + a), ∀ f ∈ F.
Soit aussi e ∈ F définie par e(n) = 1 ∀n ∈ Z et V le sous-espace de F constitué des
sommes finies (dans lesquelles p dépend de f )
f = λ 0 e +
p
j=1
λ j ( f j − T a j f j ), avec λ 0 , . . . , λ p ∈ C, a 1 , . . . , a p ∈ Z, f 1 , . . . , f p ∈ F.
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