Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
Remarque : La propriété sous-jacente de l’espace l
1 , qu’on redémontre essentiellement
ici, est la propriété dite « de relèvement », à savoir : pour tout opérateur linéaire continu
u : l
1
→ E/M et pour tout ε > 0, il existe un opérateur linéaire continu ˜
u : l
1
→ E tel
que
1. ˜ u ≤ (1 + ε)u
2. u = π◦ ˜
u où π est la surjection canonique : E → E/M. On dit que ˜
u est un relèvement
continu de u.
Si maintenant on prend pour u un isomorphisme de l
1 sur E/M, et qu’on pose S = ˜
u◦u
−1 ,
on voit que π◦S = π◦ ˜
u◦u
−1
= u◦u
−1
= [I]. D’après ce qui précède, M est complémenté
dans E.
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