Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
2 SOLUTIONS
Exercice III.1
(i) ⇒ : Il s’agit simplement du produit de composition de deux applications continues,
c’est une application continue.
(ii) ⇐ : Selon la suggestion de l’énoncé, comme E et F sont des espaces de Banach,
le théorème du graphe fermé (P 2.17) exprime que T est continue dès que son graphe est
fermé dans E × F.
Soit donc ((x n , T x n )) n∈N ∗ une suite de ce graphe convergeant vers (x, y), ou encore x n → x
et T x n → y. Il convient d’établir que y = T x. Soit f ∈ F
∗ . Puisque f ◦ T est continue,
on a
lim
n→∞
( f ◦ T )(x n ) = ( f ◦ T )(x).
Soit encore, selon l’écriture usuelle (D 1.24) :
lim
n→∞
T x n , f = T x, f .
Comme f est continue, on a aussi : lim n→∞ T x n , f = y, f , et par identification :
y, f = T x, f pour tout f ∈ F
∗ .
Or, on sait que (cf. (P 3.5)) :
y 1 , y 2 ∈ F et y 1 , f = y 2 , f pour tout f ∈ F
∗
=⇒ y 1 = y 2 .
Il résulte donc de ce qui précède que y = T x, ce qu’il fallait démontrer.
Exercice III.2
(1) Supposons par exemple a ≥ 1. Un calcul immédiat donne, après simplification :
M N ( f − T a f ) =
1
2N + 1
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−N≤n<−N+a
f (n) −
N f (n)
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
En prenant les modules et en majorant | f (n)| par f ∞ dans cette somme de 2a termes,
on obtient l’inégalité de l’énoncé.
(2) Soit f = f = λ 0 e +
p
j=1 λ j ( f j − T a j f j ) ∈ V. Nous avons donc
M N ( f ) = λ 0 +
p
j=1
λ j M N ( f j − T a j f j ) d’où d’après (1)
|M N ( f ) − λ 0 | ≤
p
j=1
|λ j |
2|a j |
2N + 1
f j ∞ .
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