2. Solutions
Ainsi, f ∈ (c 0 )
∗ et φ( f ) = y, ce qui montre que φ est surjective.
Finalement on a montré que (c 0 )
∗ est isométriquement isomorphe à
1 , ce qu’on écrit :
(c 0 )
∗
=
1 .
Remarques : (a) On a
1
⊆ c 0 ⊆
∞ , (
1 )
∗
=
∞ et (c 0 )
∗
=
1 .
(b)
1
⊂ (
∞ )
∗ mais (
∞ )
∗
1 (cf. Ch. III, Ex. III.2).
(c) c 0 et
1 sont séparables (i.e. contiennent une partie dénombrable dense), mais
∞ ne
l’est pas.
Exercice II.8
(1) Soit ( f n , T f n ) n∈N ⊆ G(T ) une suite convergente vers ( f, g) dans E × F. Alors
lim n→+∞ f n = f et lim n→+∞ f
n = g. Comme les deux convergences sont uniformes,
g = f
et donc ( f, g) = ( f, T f ) ∈ G(T ). Ce qui montre que G(T ) est fermé.
(2) Pour la suite ( f n ) proposée, on a f n ∞ = 1 et f
n ∞ = n. Si T est continue, selon
(P 2.6), on a T ≥
f
n ∞
f n ∞
= n. Ceci montre que T ne peut pas avoir une valeur finie
donc que l’application T n’est pas continue.
(3) Le graphe de T est fermé et T n’est pas continue. Le théorème du graphe fermé
(P 2.18) est donc en défaut. Puisque on sait que F est complet pour la norme ∞ , on
conclut que E n’est pas complet pour cette norme.
Exercice II.9
(1) Soit (x
(p) ) p∈N une suite de Cauchy de G, avec pour chaque entier p : x
p
= (x
(p)
n ) n∈N .
Soit ε > 0 et N entier tel que
∀p, q ∈ N, p, q ≥ N =⇒ ⇒x
(p)
− x
(q)
= sup
n∈N
x
(p)
n − x
(q)
n ≤ ε.
Chaque suite (x
(p)
n ) p∈N de F est alors de Cauchy dans F, puisque ε est arbitraire. Comme
F est complet, elle converge dans F vers un élément x n ∈ F. On note x = (x n ) n∈N . Pour
n fixé, le passage à la limite dans l’inégalité x
(p)
n − x
(q)
n ≤ ε quand q → ∞, avec p ≥ N
fixé, donne
p ≥ N =⇒ ⇒x
(p)
n − x n ≤ ε.
(∗)
Cela montre que x
p
− x ∈ G qui est un espace vectoriel, et que donc x ∈ G. L’inégalité (∗)
s’interprète alors par
p ≥ N =⇒ ⇒x − x
(p)
≤ ε,
ce qui montre bien que G est complet.
(2) Soit X p = (x p , U x p ) = (x p , (T n (x p ) n ) une suite de G(U) convergente dans E × G
vers X = (x, (y n ) n ).
Par définition de la norme dans E × G, selon (D 1.12), on a
X p − X = x p − x + sup
n
T n (x p ) − y n ,
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Ainsi, f ∈ (c 0 )
∗ et φ( f ) = y, ce qui montre que φ est surjective.
Finalement on a montré que (c 0 )
∗ est isométriquement isomorphe à
1 , ce qu’on écrit :
(c 0 )
∗
=
1 .
Remarques : (a) On a
1
⊆ c 0 ⊆
∞ , (
1 )
∗
=
∞ et (c 0 )
∗
=
1 .
(b)
1
⊂ (
∞ )
∗ mais (
∞ )
∗
1 (cf. Ch. III, Ex. III.2).
(c) c 0 et
1 sont séparables (i.e. contiennent une partie dénombrable dense), mais
∞ ne
l’est pas.
Exercice II.8
(1) Soit ( f n , T f n ) n∈N ⊆ G(T ) une suite convergente vers ( f, g) dans E × F. Alors
lim n→+∞ f n = f et lim n→+∞ f
n = g. Comme les deux convergences sont uniformes,
g = f
et donc ( f, g) = ( f, T f ) ∈ G(T ). Ce qui montre que G(T ) est fermé.
(2) Pour la suite ( f n ) proposée, on a f n ∞ = 1 et f
n ∞ = n. Si T est continue, selon
(P 2.6), on a T ≥
f
n ∞
f n ∞
= n. Ceci montre que T ne peut pas avoir une valeur finie
donc que l’application T n’est pas continue.
(3) Le graphe de T est fermé et T n’est pas continue. Le théorème du graphe fermé
(P 2.18) est donc en défaut. Puisque on sait que F est complet pour la norme ∞ , on
conclut que E n’est pas complet pour cette norme.
Exercice II.9
(1) Soit (x
(p) ) p∈N une suite de Cauchy de G, avec pour chaque entier p : x
p
= (x
(p)
n ) n∈N .
Soit ε > 0 et N entier tel que
∀p, q ∈ N, p, q ≥ N =⇒ ⇒x
(p)
− x
(q)
= sup
n∈N
x
(p)
n − x
(q)
n ≤ ε.
Chaque suite (x
(p)
n ) p∈N de F est alors de Cauchy dans F, puisque ε est arbitraire. Comme
F est complet, elle converge dans F vers un élément x n ∈ F. On note x = (x n ) n∈N . Pour
n fixé, le passage à la limite dans l’inégalité x
(p)
n − x
(q)
n ≤ ε quand q → ∞, avec p ≥ N
fixé, donne
p ≥ N =⇒ ⇒x
(p)
n − x n ≤ ε.
(∗)
Cela montre que x
p
− x ∈ G qui est un espace vectoriel, et que donc x ∈ G. L’inégalité (∗)
s’interprète alors par
p ≥ N =⇒ ⇒x − x
(p)
≤ ε,
ce qui montre bien que G est complet.
(2) Soit X p = (x p , U x p ) = (x p , (T n (x p ) n ) une suite de G(U) convergente dans E × G
vers X = (x, (y n ) n ).
Par définition de la norme dans E × G, selon (D 1.12), on a
X p − X = x p − x + sup
n
T n (x p ) − y n ,
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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