Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
Remarque : Par abus de langage, on note (
p )
∗
=
q . En permutant p et q (ce qui
préserve la double inégalité 1 < p < ∞), on a (
q )
∗
=
p .
D’où : 1 < p < ∞ =⇒ (
p )
∗∗
= (
q )
∗
=
p . On dit alors que
p est réflexif.
(5) Soit f ∈ (
1 )
∗ et f n = f (e n ) où (e n ) n la base canonique de
1 . Pour tout entier
n ≥ 1, on a : | f n | ≤ ≤ f e n 1 = f .
D’où ( f n ) n ∈
∞ et ( f n ) n ∞ ≤ ≤ f . Et si x = (x n ) n ∈
1 est arbitraire, f (x) = f (
n x n e n ) =
n x n f (e n ) =
n x n f n .
Par suite, | f (x)| ≤ ≤( f n ) n ∞ x 1 et f ≤ ≤( f n ) n ∞ .
Donc, f = ( f n ) n ∞ .
L’application φ : (
1 )
∗
→
∞ définie par φ( f ) = ( f n ) n est bien définie, linéaire et
φ( f ) ∞ = ( f n ) n ∞ = f . Donc φ est une isométrie, a fortiori elle est continue et
injective. Soit maintenant y = (y n ) n ∈
∞ .
On définit f par f (x) =
n x n y n , x = (x n ) n ∈
1
.
Alors, f est linéaire et aussi continue, car on a | f (x)| ≤
n |y n ||x n | ≤ ≤y ∞ x 1 .
Ainsi, f ∈ (
1 )
∗ et φ( f ) = y, ce qui montre que φ est surjective. Finalement on a montré
que (
1 )
∗ est isométriquement isomorphe à
∞ , ce qu’on écrit : (
1 )
∗
=
∞ .
(6) Considérons l’espace c 0 = {(x n ) n ∈
∞ ; x n → 0} muni de la norme ∞ et soit
f ∈ (c 0 )
∗ . Posons f n = f (e n ) où (e n ) n la « base » canonique de c 0 . On définit l’éléments x
(N) de c 0 par :
x
(N)
n =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
f (e n )
| f (e n )|
si n ≤ N et f (e n ) 0
0
sinon
Alors
N
n=1
| f (e n )| =
N
n=1
f (e n )
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
f (e n )
| f (e n )|
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = f
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
f (e n )
| f (e n )|
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ e n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
= f (x
(N) ) ≤ ≤ f x
(N)
∞ = f .
D’où ( f n ) n ∈
1 et ( f n ) n 1 ≤ ≤ f .
Pour x = (x n ) n ∈ c 0 , f (x) = f (
n x n e n ) =
n x n f (e n ) =
n x n f n .
Alors | f (x)| ≤ ≤x ∞ ( f n ) n 1 et donc f ≤ ≤( f n ) n 1 , finalement f = ( f n ) n 1 .
L’application φ : (c 0 )
∗
→
1
, f → φ( f ) = ( f n ) n est bien définie, linéaire et
φ( f ) 1 = ( f n ) n 1 = f . C’est donc une isométrie, a fortiori elle est continue et injective. Soit maintenant y = (y n ) n ∈
1 . On définit
f :
1
→ C par f (x) =
n
x n y n , x = (x n ) n ∈ c 0 .
Alors, f est linéaire et continue, car on a | f (x)| ≤
n |y n ||x n | ≤ ≤x ∞ y 1 .
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Remarque : Par abus de langage, on note (
p )
∗
=
q . En permutant p et q (ce qui
préserve la double inégalité 1 < p < ∞), on a (
q )
∗
=
p .
D’où : 1 < p < ∞ =⇒ (
p )
∗∗
= (
q )
∗
=
p . On dit alors que
p est réflexif.
(5) Soit f ∈ (
1 )
∗ et f n = f (e n ) où (e n ) n la base canonique de
1 . Pour tout entier
n ≥ 1, on a : | f n | ≤ ≤ f e n 1 = f .
D’où ( f n ) n ∈
∞ et ( f n ) n ∞ ≤ ≤ f . Et si x = (x n ) n ∈
1 est arbitraire, f (x) = f (
n x n e n ) =
n x n f (e n ) =
n x n f n .
Par suite, | f (x)| ≤ ≤( f n ) n ∞ x 1 et f ≤ ≤( f n ) n ∞ .
Donc, f = ( f n ) n ∞ .
L’application φ : (
1 )
∗
→
∞ définie par φ( f ) = ( f n ) n est bien définie, linéaire et
φ( f ) ∞ = ( f n ) n ∞ = f . Donc φ est une isométrie, a fortiori elle est continue et
injective. Soit maintenant y = (y n ) n ∈
∞ .
On définit f par f (x) =
n x n y n , x = (x n ) n ∈
1
.
Alors, f est linéaire et aussi continue, car on a | f (x)| ≤
n |y n ||x n | ≤ ≤y ∞ x 1 .
Ainsi, f ∈ (
1 )
∗ et φ( f ) = y, ce qui montre que φ est surjective. Finalement on a montré
que (
1 )
∗ est isométriquement isomorphe à
∞ , ce qu’on écrit : (
1 )
∗
=
∞ .
(6) Considérons l’espace c 0 = {(x n ) n ∈
∞ ; x n → 0} muni de la norme ∞ et soit
f ∈ (c 0 )
∗ . Posons f n = f (e n ) où (e n ) n la « base » canonique de c 0 . On définit l’éléments x
(N) de c 0 par :
x
(N)
n =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
f (e n )
| f (e n )|
si n ≤ N et f (e n ) 0
0
sinon
Alors
N
n=1
| f (e n )| =
N
n=1
f (e n )
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
f (e n )
| f (e n )|
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = f
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
f (e n )
| f (e n )|
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ e n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
= f (x
(N) ) ≤ ≤ f x
(N)
∞ = f .
D’où ( f n ) n ∈
1 et ( f n ) n 1 ≤ ≤ f .
Pour x = (x n ) n ∈ c 0 , f (x) = f (
n x n e n ) =
n x n f (e n ) =
n x n f n .
Alors | f (x)| ≤ ≤x ∞ ( f n ) n 1 et donc f ≤ ≤( f n ) n 1 , finalement f = ( f n ) n 1 .
L’application φ : (c 0 )
∗
→
1
, f → φ( f ) = ( f n ) n est bien définie, linéaire et
φ( f ) 1 = ( f n ) n 1 = f . C’est donc une isométrie, a fortiori elle est continue et injective. Soit maintenant y = (y n ) n ∈
1 . On définit
f :
1
→ C par f (x) =
n
x n y n , x = (x n ) n ∈ c 0 .
Alors, f est linéaire et continue, car on a | f (x)| ≤
n |y n ||x n | ≤ ≤x ∞ y 1 .
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