2. Solutions
Il en résulte que
ρ
q
N = |U N (y)| ≤ ≤U N y p = U N (ρ N )
q
p , d’où U N ≥ (ρ N )
q−
q
p = ρ N ,
ce qui montre que U N = ρ N = (
N
n=1 |x n |
q )
1/q .
(2) Comme la suite x = (x n ) n vérifie
∀y = (y n ) n ∈
p
,
+∞
n=0 |x n y n | = M y < +∞, on a
∀y ∈
p
, ∀N ∈ N, |U N (y)| ≤ M y et donc sup
N
|U N (y)| ≤ M y .
Par le théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13), sup N U N < ∞, ce qui implique
(
∞
n=1 |x n |
q )
1/q
< ∞ et donc x ∈
q .
(3) Nous avons
|(U − U N )(y)| =
+∞
n=N+1
x n y n
≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=N+1
|x n |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/q ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=N+1
|y n |
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=N+1
|x n |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/q
y p .
D’où U − U N ≤ (
∞
n=N+1 |x n |
q )
1/q
→ 0, comme reste d’une série convergente. De plus,
U = (x n ) n q .
(4) Soit f ∈ (
p )
∗ une forme linéaire continue, et (e n ) n la « base canonique » de
p . Alors pour x = (x n ) n ∈
p , on a x =
n x n e n et donc f (x) =
n x n f (e n ). Posons
f n = f (e n ). La suite ϕ = ( f n ) n vérifie
∀(x n ) n ∈
p
,
n
|x n f n | < ∞.
D’après (2), ϕ ∈
q . Et d’après (3) f = ( f n ) n q = ϕ q .
Soit φ : (
p )
∗
→
q définie par φ( f ) = ( f n ) n = ϕ. L’application φ est linéaire et on a
φ( f ) q = ( f n ) n q = f .
Il en résulte que φ est une isométrie, en particulier qu’elle est continue et injective. Pour
la surjectivité, soit y = (y n ) n ∈
q . On pose
f (x) =
n
x n y n , x = (x n ) n ∈
p
.
Alors f est bien définie, linéaire, continue et on a f n = f (e n ) = y n d’où φ( f ) = (y n ) n = y.
Finalement, (
p )
∗ est isométriquement isomorphe à
q .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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