Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
Donc, il existe C > 0 tel que U n (x) ≤ Cx pour tout x ∈ E et pour tout n ≥ 0. D’où
U(x n , y n ) = U n (x n ) ≤ Cx n → 0.
Ceci montre la continuité de U en (0, 0) et comme U est bilinéaire, on a la continuité de
U dans E × F.
Dans le cas où E est normé et F est Banach, on utilise le même raisonnement que plus
haut pour conclure.
(2) (i) U séparément continue :
1
⊂
∞ car
(x n ) n ∈
1
⇐⇒
n≥0
|x n | < ∞,
ce qui implique que x n → 0 et que (x n ) n est bornée.
Soit x = (x n ) n et y = (y n ) n dans
1 . Alors
|x n y n | ≤ ≤x ∞ |y n | et |x n y n | ≤ ≤y ∞ |x n |.
D’où pour tout x, y ∈
1 ,
|U(x, y)| ≤
n
|x n y n | ≤ ≤x ∞ y 1 et |U(x, y)| ≤
n
|x n y n | ≤ ≤y ∞ x 1 .
Tout ceci montre que U est séparément continue de
1
×
1 dans C.
(ii) Non-continuité de U : Soit la suite (x, x) = (x
(k)
, x
(k) ), k ∈ N
∗ , proposée dans
l’énoncé (x
(k)
= (x
(k)
n ) : x
(k)
n = 1 si n ≤ k, 0 sinon.). Alors pour tout k ∈ N
∗
(x
(k)
∞ = 1
et U(x, x) =
n (x
(k)
n )
2
=
k
n=1 1 = k. U transforme donc des suites bornées en des suites
non bornées, et elle n’est pas continue.
(b) Explication. On ne peut pas appliquer le résultat de (1) car
1 n’est pas
complet pour la norme . ∞ . Autrement dit,
1 n’est pas fermé dans
∞ .
Exercice II.7
(1) U N (y) =
N
n=1 x n y n est une somme finie à laquelle on peut appliquer l’inégalité
de Hölder (P 1.5). q est associé à p par
1
p
+
1
q
= 1. Alors
|U N (y)| ≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
j=1
|x j |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/q ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
j=1
|y j |
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
j=1
|x j |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/q
y p
de f
= ρ N y p .
Ceci établit la continuité de U N et l’inégalité U N ≤ ρ N .
On choisit y = (y n ) n de sorte que x n y n = |x n |
q pour n ≤ N et y n = 0 pour n > N. Alors
|U N (y)| =
N
n=1 |x n |
q
= ρ
q
N et
y p =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
|y n |
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
=
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
|x n |
p(q−1)
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
=
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
|x n |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
= (ρ N )
q
p .
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Donc, il existe C > 0 tel que U n (x) ≤ Cx pour tout x ∈ E et pour tout n ≥ 0. D’où
U(x n , y n ) = U n (x n ) ≤ Cx n → 0.
Ceci montre la continuité de U en (0, 0) et comme U est bilinéaire, on a la continuité de
U dans E × F.
Dans le cas où E est normé et F est Banach, on utilise le même raisonnement que plus
haut pour conclure.
(2) (i) U séparément continue :
1
⊂
∞ car
(x n ) n ∈
1
⇐⇒
n≥0
|x n | < ∞,
ce qui implique que x n → 0 et que (x n ) n est bornée.
Soit x = (x n ) n et y = (y n ) n dans
1 . Alors
|x n y n | ≤ ≤x ∞ |y n | et |x n y n | ≤ ≤y ∞ |x n |.
D’où pour tout x, y ∈
1 ,
|U(x, y)| ≤
n
|x n y n | ≤ ≤x ∞ y 1 et |U(x, y)| ≤
n
|x n y n | ≤ ≤y ∞ x 1 .
Tout ceci montre que U est séparément continue de
1
×
1 dans C.
(ii) Non-continuité de U : Soit la suite (x, x) = (x
(k)
, x
(k) ), k ∈ N
∗ , proposée dans
l’énoncé (x
(k)
= (x
(k)
n ) : x
(k)
n = 1 si n ≤ k, 0 sinon.). Alors pour tout k ∈ N
∗
(x
(k)
∞ = 1
et U(x, x) =
n (x
(k)
n )
2
=
k
n=1 1 = k. U transforme donc des suites bornées en des suites
non bornées, et elle n’est pas continue.
(b) Explication. On ne peut pas appliquer le résultat de (1) car
1 n’est pas
complet pour la norme . ∞ . Autrement dit,
1 n’est pas fermé dans
∞ .
Exercice II.7
(1) U N (y) =
N
n=1 x n y n est une somme finie à laquelle on peut appliquer l’inégalité
de Hölder (P 1.5). q est associé à p par
1
p
+
1
q
= 1. Alors
|U N (y)| ≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
j=1
|x j |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/q ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
j=1
|y j |
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
j=1
|x j |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/q
y p
de f
= ρ N y p .
Ceci établit la continuité de U N et l’inégalité U N ≤ ρ N .
On choisit y = (y n ) n de sorte que x n y n = |x n |
q pour n ≤ N et y n = 0 pour n > N. Alors
|U N (y)| =
N
n=1 |x n |
q
= ρ
q
N et
y p =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
|y n |
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
=
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
|x n |
p(q−1)
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
=
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
|x n |
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
= (ρ N )
q
p .
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