2. Solutions
Exercice II.4
(I) (1) Pour montrer que ker(T
n ) est fermé, il suffit de remarquer que
ker(T
n ) = (T
n )
−1 ({0}), que T
n est continu et que l’ensemble {0} est fermé dans E.
(2) (i) Par hypothèse on a E =
n≥0 ker(T
n ). D’après le théorème de Baire
(P 2.12), il existe un d pour lequel l’intérieur de ker(T
d ) est non-vide. D’après le résultat de l’Ex. II.3 (1), il existe donc d tel que ker(T
d ) = E, c’est-à-dire T
d
= 0.
(II) Puisque pour tout P ∈ E, il existe n ∈ N tel que P
(n)
= 0, la somme Σ n≥0 ||P
(n)
|| ∞ est
une somme finie et donc ||P|| ∈ R
+ . Les autres axiomes de norme se vérifient facilement
du fait que ||P|| ∞ est une norme.
Clairement, ||T (P)|| = ||P
|| = Σ n≥0 ||P
(n+1)
|| ∞ = Σ n≥1 ||P
(n)
|| ∞ ≤ ||P||. Donc, ||T (P)|| ≤ ||P||,
ce qui montre la continuité de T .
(i) Remarquons que si le degré de P est k, alors 0 = P
(k+1)
= T
k+1 (P). Par conséquent
pour tout P ∈ E, il existe n tel que P ∈ ker(T
n ), ce qui implique E =
n≥0 ker (T
n ).
(ii) Soit d ∈ N un entier arbitraire. Soit P un polynôme de degré d, alors
0 P
(d)
= T
d (P), et T
d
0. Ceci montre que T ne peut pas être nilpotent.
Explication. Le théorème de Baire (P 2.12) n’est pas applicable, il en résulte que E n’est
pas complet.
Exercice II.5
En utilisant la définition de T n , il est facile de voir que T n x → 0 pour tout x ∈ E. Ceci
montre que l’ensemble A x est borné pour tout x ∈ E.
Montrons que T n = n. En effet, clairement T n ≤ n. D’autre part, soit e n le vecteur de
E dont seule la n-ième composante est non nulle et vaut 1. e n = 1 et T n e n = n donc
T n ≥ n et T n = n. Ceci montre que l’ensemble A n’est pas borné.
Explication. Le théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13) exprime que A est borné si
chaque A x est borné dès que E est un espace de Banach. On n’a pas ici les conclusions
de ce théorème ; il en résulte que E n’est pas un espace de Banach.
Exercice II.6
(1) Supposons que E est Banach et F est normé et soit (x n , y n ) une suite arbitraire de
E × F convergente vers (0, 0).
Considérons la suite U n , définie par U n (x) = U(x, y n ), x ∈ E. Nous avons U n ∈ L(E, G)
car l’application x → U(x, y n ) est continue.
Puisque l’application y → U(x, y) est continue, U n (x) → 0 pour tout x ∈ E.
Or, dans l’espace normé G, toute suite convergente est bornée. Donc pour tout x ∈ E,
sup n U n (x) < ∞.
Par le théorème de Banach-Seinhaus (E étant complet), on a sup n U n < ∞.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
57
Exercice II.4
(I) (1) Pour montrer que ker(T
n ) est fermé, il suffit de remarquer que
ker(T
n ) = (T
n )
−1 ({0}), que T
n est continu et que l’ensemble {0} est fermé dans E.
(2) (i) Par hypothèse on a E =
n≥0 ker(T
n ). D’après le théorème de Baire
(P 2.12), il existe un d pour lequel l’intérieur de ker(T
d ) est non-vide. D’après le résultat de l’Ex. II.3 (1), il existe donc d tel que ker(T
d ) = E, c’est-à-dire T
d
= 0.
(II) Puisque pour tout P ∈ E, il existe n ∈ N tel que P
(n)
= 0, la somme Σ n≥0 ||P
(n)
|| ∞ est
une somme finie et donc ||P|| ∈ R
+ . Les autres axiomes de norme se vérifient facilement
du fait que ||P|| ∞ est une norme.
Clairement, ||T (P)|| = ||P
|| = Σ n≥0 ||P
(n+1)
|| ∞ = Σ n≥1 ||P
(n)
|| ∞ ≤ ||P||. Donc, ||T (P)|| ≤ ||P||,
ce qui montre la continuité de T .
(i) Remarquons que si le degré de P est k, alors 0 = P
(k+1)
= T
k+1 (P). Par conséquent
pour tout P ∈ E, il existe n tel que P ∈ ker(T
n ), ce qui implique E =
n≥0 ker (T
n ).
(ii) Soit d ∈ N un entier arbitraire. Soit P un polynôme de degré d, alors
0 P
(d)
= T
d (P), et T
d
0. Ceci montre que T ne peut pas être nilpotent.
Explication. Le théorème de Baire (P 2.12) n’est pas applicable, il en résulte que E n’est
pas complet.
Exercice II.5
En utilisant la définition de T n , il est facile de voir que T n x → 0 pour tout x ∈ E. Ceci
montre que l’ensemble A x est borné pour tout x ∈ E.
Montrons que T n = n. En effet, clairement T n ≤ n. D’autre part, soit e n le vecteur de
E dont seule la n-ième composante est non nulle et vaut 1. e n = 1 et T n e n = n donc
T n ≥ n et T n = n. Ceci montre que l’ensemble A n’est pas borné.
Explication. Le théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13) exprime que A est borné si
chaque A x est borné dès que E est un espace de Banach. On n’a pas ici les conclusions
de ce théorème ; il en résulte que E n’est pas un espace de Banach.
Exercice II.6
(1) Supposons que E est Banach et F est normé et soit (x n , y n ) une suite arbitraire de
E × F convergente vers (0, 0).
Considérons la suite U n , définie par U n (x) = U(x, y n ), x ∈ E. Nous avons U n ∈ L(E, G)
car l’application x → U(x, y n ) est continue.
Puisque l’application y → U(x, y) est continue, U n (x) → 0 pour tout x ∈ E.
Or, dans l’espace normé G, toute suite convergente est bornée. Donc pour tout x ∈ E,
sup n U n (x) < ∞.
Par le théorème de Banach-Seinhaus (E étant complet), on a sup n U n < ∞.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
57