Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
d’où x = lim p→+∞ x p et y n = lim p→+∞ T n (x p ). Puisque T n est continue,
T n (x) = lim p→+∞ T n (x p ). Par unicité de la limite, on a y n = T n (x). Ceci montre que
X = (x, (y n ) n ) ∈ G(U) et par suite que le graphe de U est fermé.
(ii) U est linéaire et définie entre espaces de Banach, son graphe est fermé. D’après
le théorème du graphe fermé (P 2.17), U est continue.
(3) Puisque U est linéaire continue, on peut affirmer que :
∃C > 0; ∀x ∈ E, U(x) G ≤ Cx E
Autrement dit :
∃C > 0; ∀x ∈ E, sup
n
T n (x) F ≤ Cx E ;
ou encore
∃C > 0; ∀x ∈ E, ∀n ≥ 1, T n (x) F ≤ Cx E .
Donc finalement,
sup
n
T n ≤ C,
et on retrouve la conclusion du théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13).
Exercice II.10
(1) Soit f ∈ E. Nous avons par définition
T f = f ◦ ϕ = sup
x∈I
| f (ϕ(x))| = sup
y∈ϕ(I)
| f (y)|.
(∗)
Si donc ϕ(I) = I, le membre de droite de (∗) vaut f et T est une isométrie. Et si
ϕ(I) = K I, comme K est compact donc fermé, il existe un intervalle J ⊂ I non-réduit
à un point tel que J ∩ K = ∅. Soit f ∈ E une fonction non-nulle à support dans J, par
exemple une fonction triangle, si bien que f est nulle sur K et que le membre de droite
de (∗) est nul. Dans ce cas, T n’est même pas injective ! A fortiori, ce n’est pas une
isométrie.
(2) Prenons ϕ : I → I définie par ϕ(x) = 4x(1 − x). Cette application est surjective,
donc T ci-dessus est une isométrie. Mais les fonctions g ∈ Im(T ) doivent vérifier la
condition de symétrie g(x) = g(1 − x) que ne possèdent pas toutes les fonctions de E, et
T n’est pas un opérateur surjectif.
Exercice II.11
A est continue, donc ker A est un sous-espace fermé de E ; ainsi la définition (D 1.14) de
l’espace-quotient est valable.
(1) On sait, par (P 2.9), que si E est un espace de Banach et M un sous-espace fermé
de E, alors E/M muni de la norme [x] = inf(y; y ∈ [x]) est un espace de Banach.
62
d’où x = lim p→+∞ x p et y n = lim p→+∞ T n (x p ). Puisque T n est continue,
T n (x) = lim p→+∞ T n (x p ). Par unicité de la limite, on a y n = T n (x). Ceci montre que
X = (x, (y n ) n ) ∈ G(U) et par suite que le graphe de U est fermé.
(ii) U est linéaire et définie entre espaces de Banach, son graphe est fermé. D’après
le théorème du graphe fermé (P 2.17), U est continue.
(3) Puisque U est linéaire continue, on peut affirmer que :
∃C > 0; ∀x ∈ E, U(x) G ≤ Cx E
Autrement dit :
∃C > 0; ∀x ∈ E, sup
n
T n (x) F ≤ Cx E ;
ou encore
∃C > 0; ∀x ∈ E, ∀n ≥ 1, T n (x) F ≤ Cx E .
Donc finalement,
sup
n
T n ≤ C,
et on retrouve la conclusion du théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13).
Exercice II.10
(1) Soit f ∈ E. Nous avons par définition
T f = f ◦ ϕ = sup
x∈I
| f (ϕ(x))| = sup
y∈ϕ(I)
| f (y)|.
(∗)
Si donc ϕ(I) = I, le membre de droite de (∗) vaut f et T est une isométrie. Et si
ϕ(I) = K I, comme K est compact donc fermé, il existe un intervalle J ⊂ I non-réduit
à un point tel que J ∩ K = ∅. Soit f ∈ E une fonction non-nulle à support dans J, par
exemple une fonction triangle, si bien que f est nulle sur K et que le membre de droite
de (∗) est nul. Dans ce cas, T n’est même pas injective ! A fortiori, ce n’est pas une
isométrie.
(2) Prenons ϕ : I → I définie par ϕ(x) = 4x(1 − x). Cette application est surjective,
donc T ci-dessus est une isométrie. Mais les fonctions g ∈ Im(T ) doivent vérifier la
condition de symétrie g(x) = g(1 − x) que ne possèdent pas toutes les fonctions de E, et
T n’est pas un opérateur surjectif.
Exercice II.11
A est continue, donc ker A est un sous-espace fermé de E ; ainsi la définition (D 1.14) de
l’espace-quotient est valable.
(1) On sait, par (P 2.9), que si E est un espace de Banach et M un sous-espace fermé
de E, alors E/M muni de la norme [x] = inf(y; y ∈ [x]) est un espace de Banach.
62