Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
dans E. La fin est facile : la relation C( f ) =
∞
p=1 O 1
p
est une conséquence immédiate de
la question (1)(ii) et montre bien que C( f ), i.e. l’ensemble des points de continuité de
f , est un G δ , dense d’après ce qui précède et d’après le théorème de Baire appliqué une
nouvelle fois.
(4) (i) E = R avec sa métrique usuelle est un espace métrique complet. D’après (3),
seules les fonctions continues sur un ensemble dense dans R peuvent être limites d’une
suite de fonctions continues sur R. Il suffit donc de montrer que l’ensemble des points
de continuité de f = 1 Q n’est pas dense dans R.
Soit x ∈ Q, d’intérieur vide dans R, et V un voisinage de x. Il existe y ∈ V, y Q,
pour lequel on a | f (x) − f (y)| = 1, ce qui montre que x n’est pas un point de continuité
de f . On démontre de même que f est discontinue en x ∈ Q
c . f n’admet aucun point de
continuité, ce qui règle la question.
(ii) Par définition de la dérivée, on a
∀x ∈ R, g
(x) = lim n→+∞
g(x + n
−1 ) − g(x)
n −1
de f
= lim h n (x).
h n est une fonction continue sur R. Le résultat de (4) est donc applicable. L’ensemble
des points de discontinuité de g est un G δ dense dans R.
Exercice II.2
(1) Il suffit de montrer que si une suite ( f k ) k∈N ∗ d’éléments de A n est convergente dans
E vers une fonction f , alors f ∈ A n . Pour chaque k, il existe t k ∈ [0, 1] tel que
| f k (t) − f k (t k )| ≤ n|t − t k | pour tout t ∈ [0, 1].
Modulo extraction, on peut supposer que t k → s ∈ [0, 1] sans perte de généralité, puisque
la suite bornée (t k ) contient une sous-suite convergente. Soit maintenant t ∈ [0, 1] arbitraire. Nous avons l’inégalité :
| f (t) − f (t k )| ≤ | f (t) − f k (t)| + | f k (t) − f k (t k )| + | f k (t k ) − f (t k )|
≤ | f (t) − f k (t) + n|t − t k | + f k − f ∞ .
Le passage à la limite dans cette inégalité, quand k → ∞, donne :
| f (t) − f (s)| ≤ n|t − s| pour tout t ∈ [0, 1],
ce qui montre bien que f ∈ A n , et que A n est fermé.
(2) Une fonction réelle dérivable à gauche ou à droite en tout point avec une valeur de
dérivée (à gauche ou à droite) supérieure à n en valeur absolue est un élément de B n .
Il y a dans B n la fonction f : {t → at} avec a > n et toute fonction (continue réelle) dont
le graphe est formé d’un nombre fini de segments de pente, en valeur absolue, supérieure
à n comme sur le schéma (i) ci-dessous.
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dans E. La fin est facile : la relation C( f ) =
∞
p=1 O 1
p
est une conséquence immédiate de
la question (1)(ii) et montre bien que C( f ), i.e. l’ensemble des points de continuité de
f , est un G δ , dense d’après ce qui précède et d’après le théorème de Baire appliqué une
nouvelle fois.
(4) (i) E = R avec sa métrique usuelle est un espace métrique complet. D’après (3),
seules les fonctions continues sur un ensemble dense dans R peuvent être limites d’une
suite de fonctions continues sur R. Il suffit donc de montrer que l’ensemble des points
de continuité de f = 1 Q n’est pas dense dans R.
Soit x ∈ Q, d’intérieur vide dans R, et V un voisinage de x. Il existe y ∈ V, y Q,
pour lequel on a | f (x) − f (y)| = 1, ce qui montre que x n’est pas un point de continuité
de f . On démontre de même que f est discontinue en x ∈ Q
c . f n’admet aucun point de
continuité, ce qui règle la question.
(ii) Par définition de la dérivée, on a
∀x ∈ R, g
(x) = lim n→+∞
g(x + n
−1 ) − g(x)
n −1
de f
= lim h n (x).
h n est une fonction continue sur R. Le résultat de (4) est donc applicable. L’ensemble
des points de discontinuité de g est un G δ dense dans R.
Exercice II.2
(1) Il suffit de montrer que si une suite ( f k ) k∈N ∗ d’éléments de A n est convergente dans
E vers une fonction f , alors f ∈ A n . Pour chaque k, il existe t k ∈ [0, 1] tel que
| f k (t) − f k (t k )| ≤ n|t − t k | pour tout t ∈ [0, 1].
Modulo extraction, on peut supposer que t k → s ∈ [0, 1] sans perte de généralité, puisque
la suite bornée (t k ) contient une sous-suite convergente. Soit maintenant t ∈ [0, 1] arbitraire. Nous avons l’inégalité :
| f (t) − f (t k )| ≤ | f (t) − f k (t)| + | f k (t) − f k (t k )| + | f k (t k ) − f (t k )|
≤ | f (t) − f k (t) + n|t − t k | + f k − f ∞ .
Le passage à la limite dans cette inégalité, quand k → ∞, donne :
| f (t) − f (s)| ≤ n|t − s| pour tout t ∈ [0, 1],
ce qui montre bien que f ∈ A n , et que A n est fermé.
(2) Une fonction réelle dérivable à gauche ou à droite en tout point avec une valeur de
dérivée (à gauche ou à droite) supérieure à n en valeur absolue est un élément de B n .
Il y a dans B n la fonction f : {t → at} avec a > n et toute fonction (continue réelle) dont
le graphe est formé d’un nombre fini de segments de pente, en valeur absolue, supérieure
à n comme sur le schéma (i) ci-dessous.
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