2. Solutions
y
y
M
P
t
t
(ii)
(i)
t
f 2a
1
1
1/ 2
0
0
a(n + 1)
ε
ε
(3) Soit g vérifiant g − f 2a ∞ < ε ; selon le schéma (ii), le graphe de g est dans la
bande oblique pointillée.
Pour t <
1
2 et s = 1, la pente la plus faible possible du segment joignant (t, g(t))
et (1, g(1)) est représentée par le segment [M, P] sur le schéma (ii). Sa pente est
(2a−ε)−(2at+ε)
1−t
= 2a −
2ε
1−t > a. Un schéma analogue est valable pour t ≥
1
2 avec s = 0.
Il en résulte que g ∈ B n dès que ε ≤
a
4 .
(4) Soit f un élément arbitraire de E, on cherche à l’approcher à ε près par un élément
g ∈ B n pour n fixé.
(i) Découpage de [0, 1]. f est uniformément continue sur [0, 1]. Pour ε > 0 donné,
il existe alors α tel que
|x − y| ≤ α ⇒ | f (x) − f (y)| ≤
ε
3
.
(II.4)
On adapte à α un découpage régulier de [0, 1] en p intervalles égaux en choisissant p
entier tel que p
−1
< α puis x k =
k
p , k = 0, 1, . . . , p. Dans chaque intervalle J k = [x k , x k+1 ],
la variation de f est contrôlée par (II.4).
(ii) Choix de g. Soit m k le milieu de J k . On choisit la fonction g affine sur
L k = [x k , m k ] et sur M k = [m k , x k+1 ] (donc affine par morceaux), telle que
∀k = 0, . . . , p, g(x k ) = f (x k ); ∀k = 0, . . . , p − 1, g(m k ) = f (m k ) +
2ε
3
(II.5)
approchant f à ε près selon le schéma fait en (2). On sera ensuite amené à choisir p assez
grand pour que g ∈ B n .
(iii) g approche f . Pour x ∈ L k , notons x = θm k + (1 − θ)x k , θ ∈ [0, 1]. Comme g
est affine sur L k , on a d’après (II.5) :
g(x) = θg(m k ) + (1 − θ)g(x k )
donc g(x) − f (x) = θ[g(m k ) − f (x)] + (1 − θ)[g(x k ) − f (x)] =
θ[ f (m k ) − f (x)] + (1 − θ)[ f (x k ) − f (x)] + θ
2ε
3
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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M
P
t
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(ii)
(i)
t
f 2a
1
1
1/ 2
0
0
a(n + 1)
ε
ε
(3) Soit g vérifiant g − f 2a ∞ < ε ; selon le schéma (ii), le graphe de g est dans la
bande oblique pointillée.
Pour t <
1
2 et s = 1, la pente la plus faible possible du segment joignant (t, g(t))
et (1, g(1)) est représentée par le segment [M, P] sur le schéma (ii). Sa pente est
(2a−ε)−(2at+ε)
1−t
= 2a −
2ε
1−t > a. Un schéma analogue est valable pour t ≥
1
2 avec s = 0.
Il en résulte que g ∈ B n dès que ε ≤
a
4 .
(4) Soit f un élément arbitraire de E, on cherche à l’approcher à ε près par un élément
g ∈ B n pour n fixé.
(i) Découpage de [0, 1]. f est uniformément continue sur [0, 1]. Pour ε > 0 donné,
il existe alors α tel que
|x − y| ≤ α ⇒ | f (x) − f (y)| ≤
ε
3
.
(II.4)
On adapte à α un découpage régulier de [0, 1] en p intervalles égaux en choisissant p
entier tel que p
−1
< α puis x k =
k
p , k = 0, 1, . . . , p. Dans chaque intervalle J k = [x k , x k+1 ],
la variation de f est contrôlée par (II.4).
(ii) Choix de g. Soit m k le milieu de J k . On choisit la fonction g affine sur
L k = [x k , m k ] et sur M k = [m k , x k+1 ] (donc affine par morceaux), telle que
∀k = 0, . . . , p, g(x k ) = f (x k ); ∀k = 0, . . . , p − 1, g(m k ) = f (m k ) +
2ε
3
(II.5)
approchant f à ε près selon le schéma fait en (2). On sera ensuite amené à choisir p assez
grand pour que g ∈ B n .
(iii) g approche f . Pour x ∈ L k , notons x = θm k + (1 − θ)x k , θ ∈ [0, 1]. Comme g
est affine sur L k , on a d’après (II.5) :
g(x) = θg(m k ) + (1 − θ)g(x k )
donc g(x) − f (x) = θ[g(m k ) − f (x)] + (1 − θ)[g(x k ) − f (x)] =
θ[ f (m k ) − f (x)] + (1 − θ)[ f (x k ) − f (x)] + θ
2ε
3
.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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