2. Solutions
(2) (i) Pour N et ε fixés, on peut écrire :
A N,ε =
n,p≥N
F n,p avec F n,p = {x; | f n (x) − f p (x)| ≤ ε}.
Chaque F n,p est fermé car la fonction f n − f p est continue, et A N,ε est fermé comme
intersection de fermés. Enfin, si x ∈ E, la suite de complexes f n (x) est de Cauchy car
convergente, et on peut trouver N assez grand pour avoir
| f n (x) − f p (x)| ≤ ε pour tous p, q ≥ N,
soit x ∈ A N,ε , et par suite E =
∞
N=1 A N,ε .
(ii) Les A N,ε , à ε fixé, forment une suite de fermés de E métrique complet, auquel
on peut appliquer le théorème de Baire (P 2.12). Il existe donc bien un entier N tel que
A N,ε soit d’intérieur non-vide.
(iii) On choisit donc N ε tel que int(A N ε ,ε ) ⊃ V ε , où V ε est une boule ouverte nonvide. Tous les points de V ε vérifient ∀n, p ≥ N ε , | f n (x) − f p (x)| ≤ ε. On fait tendre p vers
+∞ pour obtenir (II.1).
(iv) Soit x 0 ∈ V ε et r > 0 tel que B(x 0 , r) ⊂ V ε . Posons n = N ε . Par la sousadditivité de la question (1), nous avons
ω( f, x 0 ) ≤ ω( f − f n , x 0 ) + ω( f n , x 0 ) = ω( f − f n , x 0 )
puisque f n est continue en x 0 , et que son oscillation en ce point est nulle. D’autre part,
l’inégalité (II.1) de l’énoncé montre que
ω( f − f n , x 0 ) ≤ ω r ( f − f n , x 0 ) ≤ 2ε.
Tout ceci nous donne
ω( f, x 0 ) ≤ 2ε < 3ε et donc x 0 ∈ O 3ε .
Ainsi, O 3ε ∅ et comme ε > 0 est arbitraire, on a aussi bien O ε ∅.
(3) Montrons d’abord l’auto-renforcement
O ε est un ouvert dense dans E.
En effet, O ε est un ouvert non-vide d’après II.(1)(iii). Soit alors O un ouvert non-vide de
E, ainsi que h n = f n /O et h = f /O. Les fonctions (h n ) sont continues sur O, convergent
simplement sur O vers h, et O est un espace de Baire comme on l’a vu dans (1)(i),
donc la question précédente s’applique, et montre que, pour tout ε > 0, l’ensemble
Ω ε = {x 0 ∈ O; ω(h, x 0 ) < ε} est non-vide. Mais, puisque O est ouvert, on a d’après
(1)(iv) : Ω ε = O ε ∩ O, et ainsi O ε ∩ O ∅, ce qui montre que O ε est un ouvert dense
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
51
(2) (i) Pour N et ε fixés, on peut écrire :
A N,ε =
n,p≥N
F n,p avec F n,p = {x; | f n (x) − f p (x)| ≤ ε}.
Chaque F n,p est fermé car la fonction f n − f p est continue, et A N,ε est fermé comme
intersection de fermés. Enfin, si x ∈ E, la suite de complexes f n (x) est de Cauchy car
convergente, et on peut trouver N assez grand pour avoir
| f n (x) − f p (x)| ≤ ε pour tous p, q ≥ N,
soit x ∈ A N,ε , et par suite E =
∞
N=1 A N,ε .
(ii) Les A N,ε , à ε fixé, forment une suite de fermés de E métrique complet, auquel
on peut appliquer le théorème de Baire (P 2.12). Il existe donc bien un entier N tel que
A N,ε soit d’intérieur non-vide.
(iii) On choisit donc N ε tel que int(A N ε ,ε ) ⊃ V ε , où V ε est une boule ouverte nonvide. Tous les points de V ε vérifient ∀n, p ≥ N ε , | f n (x) − f p (x)| ≤ ε. On fait tendre p vers
+∞ pour obtenir (II.1).
(iv) Soit x 0 ∈ V ε et r > 0 tel que B(x 0 , r) ⊂ V ε . Posons n = N ε . Par la sousadditivité de la question (1), nous avons
ω( f, x 0 ) ≤ ω( f − f n , x 0 ) + ω( f n , x 0 ) = ω( f − f n , x 0 )
puisque f n est continue en x 0 , et que son oscillation en ce point est nulle. D’autre part,
l’inégalité (II.1) de l’énoncé montre que
ω( f − f n , x 0 ) ≤ ω r ( f − f n , x 0 ) ≤ 2ε.
Tout ceci nous donne
ω( f, x 0 ) ≤ 2ε < 3ε et donc x 0 ∈ O 3ε .
Ainsi, O 3ε ∅ et comme ε > 0 est arbitraire, on a aussi bien O ε ∅.
(3) Montrons d’abord l’auto-renforcement
O ε est un ouvert dense dans E.
En effet, O ε est un ouvert non-vide d’après II.(1)(iii). Soit alors O un ouvert non-vide de
E, ainsi que h n = f n /O et h = f /O. Les fonctions (h n ) sont continues sur O, convergent
simplement sur O vers h, et O est un espace de Baire comme on l’a vu dans (1)(i),
donc la question précédente s’applique, et montre que, pour tout ε > 0, l’ensemble
Ω ε = {x 0 ∈ O; ω(h, x 0 ) < ε} est non-vide. Mais, puisque O est ouvert, on a d’après
(1)(iv) : Ω ε = O ε ∩ O, et ainsi O ε ∩ O ∅, ce qui montre que O ε est un ouvert dense
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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