Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
(1) Montrer l’équivalence :
T isométrie ⇐⇒ ϕ : I → I surjective.
(2) Donner un exemple d’isométrie linéaire T : E → E non-surjective.
Exercice II.11
E, F sont deux espaces de Banach, et A ∈ L(E, F).
On note M = ker(A) et H = Im(A). [x] est la classe de x, élément de E/M, [A] est
l’application de E/M → F, définie par [A][x] = Ax.
(1) Montrer que [A] est linéaire continue et que [A] = A.
(2) On suppose qu’il existe un sous-espace fermé K ⊆ F tel que
K ∩ H = {0} et H + K est fermé dans F.
(i) Montrer que l’application B : E/M×K → H +K, définie par B(([x], z)) = Ax+z
est linéaire, bijective et continue.
(ii) En déduire que Im(A) est fermé dans F.
(3) On suppose que Im(A) est de codimension finie, montrer que Im(A) est fermé
dans F.
(On montrera que si M est un sous-espace fermé d’un espace normé E tel que la
dimension de E/M est finie, alors M admet un supplémentaire topologique dans E.)
Exercice II.12
E = C([0, 1]) est l’espace des fonctions continues sur [0, 1], à valeurs complexes.
On considère les deux espaces normés X = (E, ∞ ) et Y = (E, 1 ), où
f ∞ = sup(| f (t)| ; t ∈ [0, 1]) et f 1 =
1
0
| f (t)|dt.
On désigne par I l’application identité de X dans Y.
(1) Montrer que I est bijective, continue. Quelle est sa norme ?
(2) Montrer que I
−1 n’est pas continue (on pourra utiliser la suite f n (t) = t
n ).
(3) En déduire que Y n’est pas complet.
Exercice II.13
Soit E = C([0, 1]) et une norme sur E, tels que (E, ) soit un espace de Banach.
Supposons que « si f n , f ∈ E, f n − f → 0, alors f n (t) → f (t) pour tout t ∈ [0, 1] ».
Montrer que les deux normes et ∞ sont équivalentes.
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