1. Énoncés
Exercice II.14
Soit E un espace de Banach, M un sous-espace fermé de E.
On note ∀x ∈ E, [x] sa classe dans E/M; [I] est l’opération identité dans E/M (D 1.14).
(1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(α) M admet un supplémentaire topologique dans E.
(β) L’application π : E → E/M définie par π(x) = [x] admet un inverse à droite
continu (c’est-à-dire, il existe S ∈ L(E/M, E) tel que πS = [I]).
(2) Montrer que si E/M est topologiquement isomorphe à
1 , alors M admet un supplémentaire topologique (on pourra utiliser (1)).
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Exercice II.14
Soit E un espace de Banach, M un sous-espace fermé de E.
On note ∀x ∈ E, [x] sa classe dans E/M; [I] est l’opération identité dans E/M (D 1.14).
(1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(α) M admet un supplémentaire topologique dans E.
(β) L’application π : E → E/M définie par π(x) = [x] admet un inverse à droite
continu (c’est-à-dire, il existe S ∈ L(E/M, E) tel que πS = [I]).
(2) Montrer que si E/M est topologiquement isomorphe à
1 , alors M admet un supplémentaire topologique (on pourra utiliser (1)).
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