1. Énoncés
(2) En déduire que x ∈
q , où
1
p +
1
q = 1.
(Utiliser le théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13).)
(3) U est définie sur
p par U(y) =
+∞
n=0 x n y n . Trouver la limite de U − U N quand
N tend vers l’infini.
(4) Identifier le dual de
p .
(5) Identifier le dual de
1 .
(6) Identifier le dual de c 0 = {x = (x n ) n ; x n → 0} avec x = sup n∈N ∗ |x n |.
Exercice II.8
Soit E = C
1 ([0, 1]) l’espace des fonctions définies sur [0, 1], à valeurs complexes, continûment dérivables, et F = C([0, 1]) l’espace des fonctions continues définies sur [0, 1],
à valeurs complexes, tous deux munis de la norme ∞ .
Soit T : E → F défini par ∀ f ∈ E, T f = f
.
On note G(T ) = {( f, T f ); f ∈ E} le graphe de T .
(1) Montrer que G(T ) est fermé dans E × F.
(2) Montrer que T n’est pas continue
(on pourra utiliser la suite f n ∈ E, f n (x) = x
n ).
(3) Expliquer le résultat.
Exercice II.9
Soit E, F deux espaces de Banach, et G = l ∞ (F) l’espace vectoriel des suites bornées
x = (x n ) n∈N , x n ∈ F, muni de la norme x ∞ = sup(x n F ; n ∈ N).
(1) Montrer que G est un espace de Banach.
(2) Soit (T n ) n∈N une suite d’applications linéaires continues de E dans F, telles que
∀x ∈ E, sup(T n x F ); n ∈ N) < ∞.
On note U l’application de E → G, définie par U(x) = y où y = (T n x) n∈N .
Montrer que le graphe de U est fermé.
(3) En déduire que le théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13), dans le cas où les deux
espaces E et F sont des espaces de Banach, peut être établi comme conséquence du
théorème du graphe fermé (P 2.17).
Exercice II.10
E est l’espace de Banach des fonctions réelles continues sur [0, 1] = I muni de la norme
uniforme, et ϕ : I → I est une application continue. On désigne par T ∈ L(E) l’opérateur
défini par T ( f ) = f ◦ ϕ.
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