Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
Exercice II.5
Soit E = {x = (x i ) i∈N ∗ ∈
2 ; x i = 0 sauf pour un nombre fini de i}.
Soit F =
2 , on note x = (x i ) i∈N ∗ un élément arbitraire de F (D 1.15).
Soit, pour n ∈ N
∗
, T n : E → F définie par
T n ((x i ) i ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
sii n
nx n si i = n
On note A = {T n , n ∈ N
∗
}, A x = {T n x, T n ∈ A}.
Montrer que pour chaque x ∈ E, A x est borné dans F, mais que A n’est pas borné
dans L(E, F).
Expliquer pourquoi le théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13) ne s’applique pas.
Exercice II.6
Soient E, F, G trois espaces normés et U une application bilinéaire de E × F, espace
normé produit, dans G.
On note
∀x ∈ E, U x : F → G, définie par U x (y) = U(x, y) et
∀y ∈ F, U y : E → G, définie par U y (x) = U(x, y).
(1) On suppose que U est séparément continue, c’est-à-dire que ∀x ∈ E, U x est
continue et ∀y ∈ F, U y est continue.
Montrer que si E ou F est un espace de Banach, U est continue de E × F dans G.
(2) Soit E = F l’espace vectoriel
1 muni de la norme ∞ .
Soit U la forme bilinéaire sur E × F définie par U(x, y) =
n≥0 x n y n où
x = (x n ) n∈N ∗ , y = (y n ) n∈N ∗ sont des éléments de
1 .
(i) Montrer que U est bien définie et est séparément continue.
(ii) Montrer que U n’est pas continue sur E × F. Expliquer le résultat.
(On peut utiliser les éléments x
(k)
∈
1
, k ∈ N
∗ définis par x
(k)
= (x
(k)
n ) : x
(k)
n = 1 si
n ≤ k, 0 sinon.)
Exercice II.7
On se propose, pour 1 < p < ∞, de trouver le dual de
p (cf. D 1.15).
Soit x = (x n ) n∈N une suite de nombres complexes telle que la série
+∞
n=0 x n y n soit
convergente pour tout y = (y n ) n∈N ∈
p
, (1 < p < ∞).
(1) Pour N entier ≥ 0, calculer la norme de la forme linéaire U N :
p
→ C définie par
U N (y) =
N
n=0 x n y n , ∀y ∈
p .
(Utiliser l’inégalité de Minkowski (P 1.4).)
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Exercice II.5
Soit E = {x = (x i ) i∈N ∗ ∈
2 ; x i = 0 sauf pour un nombre fini de i}.
Soit F =
2 , on note x = (x i ) i∈N ∗ un élément arbitraire de F (D 1.15).
Soit, pour n ∈ N
∗
, T n : E → F définie par
T n ((x i ) i ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
sii n
nx n si i = n
On note A = {T n , n ∈ N
∗
}, A x = {T n x, T n ∈ A}.
Montrer que pour chaque x ∈ E, A x est borné dans F, mais que A n’est pas borné
dans L(E, F).
Expliquer pourquoi le théorème de Banach-Steinhaus (P 2.13) ne s’applique pas.
Exercice II.6
Soient E, F, G trois espaces normés et U une application bilinéaire de E × F, espace
normé produit, dans G.
On note
∀x ∈ E, U x : F → G, définie par U x (y) = U(x, y) et
∀y ∈ F, U y : E → G, définie par U y (x) = U(x, y).
(1) On suppose que U est séparément continue, c’est-à-dire que ∀x ∈ E, U x est
continue et ∀y ∈ F, U y est continue.
Montrer que si E ou F est un espace de Banach, U est continue de E × F dans G.
(2) Soit E = F l’espace vectoriel
1 muni de la norme ∞ .
Soit U la forme bilinéaire sur E × F définie par U(x, y) =
n≥0 x n y n où
x = (x n ) n∈N ∗ , y = (y n ) n∈N ∗ sont des éléments de
1 .
(i) Montrer que U est bien définie et est séparément continue.
(ii) Montrer que U n’est pas continue sur E × F. Expliquer le résultat.
(On peut utiliser les éléments x
(k)
∈
1
, k ∈ N
∗ définis par x
(k)
= (x
(k)
n ) : x
(k)
n = 1 si
n ≤ k, 0 sinon.)
Exercice II.7
On se propose, pour 1 < p < ∞, de trouver le dual de
p (cf. D 1.15).
Soit x = (x n ) n∈N une suite de nombres complexes telle que la série
+∞
n=0 x n y n soit
convergente pour tout y = (y n ) n∈N ∈
p
, (1 < p < ∞).
(1) Pour N entier ≥ 0, calculer la norme de la forme linéaire U N :
p
→ C définie par
U N (y) =
N
n=0 x n y n , ∀y ∈
p .
(Utiliser l’inégalité de Minkowski (P 1.4).)
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