1. Énoncés
(i) Montrer que F est continue sur R.
(ii) On suppose de plus que b est un entier pair. On fixe le réel t.
Pour n entier ≥ 1, on pose h n = πb
−n et δ n =
F(t+h n )−F(t)
h n
.
Montrer que l’on a
δ n = −
2
π
a
n b
n
+
n−1
k=0
a
k e
ib
k t (e
ib
k h n − 1)
h n
.
(iii) On ajoute aux hypothèses précédentes la condition ab > 1 +
π
2 , et on pose
δ =
2
π −
1
ab−1 > 0.
Montrer que l’on a
|δ n | ≥
2
π
a
n b
n
−
n−1
k=0
a
k b
k
≥ δa
n b
n
.
(II.2)
(iv) En déduire que F n’est pas dérivable en t et qu’elle est donc partout non dérivable.
Exercice II.3
(1) Soit E un espace normé et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que si l’intérieur de F est non-vide, alors E = F.
(2) Montrer qu’un espace de Banach de dimension infinie n’est pas de dimension
algébrique dénombrable (utiliser le théorème de Baire P 2.12.)
Exercice II.4
(I) Soit E un espace normé et T ∈ L(E) (cf. D 1.3 et D 2.5).
(1) Montrer que ker(T
n ) est fermé pour tout n ∈ N.
(2) Supposons que E est complet et que, pour tout x ∈ E, il existe n ∈ N tel que
x ∈ ker(T
n ). Montrer que T est nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe d ∈ N tel que T
d
= 0).
(II) Soit E = C[X] l’espace des polynômes complexes et notons pour P ∈ E,
||P|| =
∞
n=0
||P
(n)
|| ∞
(II.3)
avec ||P|| ∞ = sup x∈[0,1] |P(x)| et P
(n) la dérivée d’ordre n de P. Vérifier que ||P|| est bien
une norme sur E.
Soit T : E → E défini par T (P) = P
, P ∈ E . Vérifier que T ∈ L(E).
(i) Montrer que pour tout P ∈ E, il existe n ∈ N tel que P ∈ ker(T
n ).
(ii) Montrer que T n’est pas nilpotent. Expliquer ce résultat (comparer à (I) (2)).
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