Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
(2) (i) Montrer que chaque A N,ε est fermé et que E =
∞
N=1 A N,ε .
(ii) Montrer que ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que int(A N,ε ) ∅.
(iii) En déduire que ∀ε > 0, ∃N ε ∈ N, ∃V ε ⊆ E, V ε boule ouverte, tels que
∀x ∈ V ε , ∀n ≥ N ε , | f (x) − f n (x)| ≤ ε,
(II.1)
(iv) En déduire que l’ouvert O ε = {x; ω( f, x) < ε} est non-vide pour tout ε > 0.
(3) Montrer plus précisément que l’ensemble C( f ) des points de continuité de f s’écrit
C( f ) = ∩
∞
p=1 O 1
p
et que c’est un G δ dense de E.
(4) En appliquant (3), montrer que :
(i) la fonction caractéristique de l’ensemble Q des rationnels n’est pas limite
simple d’une suite de fonctions continues sur R.
(ii) si g est une fonction dérivable sur R, alors sa dérivée g
est une fonction dont
l’ensemble des points de continuité est un G δ dense dans R.
Exercice II.2
Soit E = C([0, 1]) l’espace des fonctions complexes continues sur [0, 1] muni de la
norme ∞ . On se propose de montrer que l’ensemble des fonctions continues nulle
part dérivables contient un G δ dense dans E.
Soit
A n = { f ∈ E telles que ∃s ∈ [0, 1]; ∀t ∈ [0, 1], | f (t) − f (s)| ≤ n|t − s|}.
(1) Montrer que, ∀n ∈ N
∗
, A n est fermé dans E. On note B n = A
c
n son complémentaire
dans E.
(2) Mettre en évidence des fonctions réelles affines par morceaux situées dans B n
(on pourra s’aider d’un graphe).
(3) Pour b > 0, soit f b , ∀t ∈ [0, 1], f b (t) = bt.
On note V ε ( f b ) = { f ∈ E; f − f b ∞ < ε}.
Montrer que pour a > n et ε ≤
a
4 , on a V ε ( f 2a ) ⊆ B n .
(4) Montrer que, ∀n ∈ N
∗
, B n est dense dans E.
(5) Déduire de l’étude des A n que l’ensemble (non-borélien) M des fonctions continues nulle part dérivables contient B, un G δ dense dans E, et que toute fonction de E est
somme de deux fonctions de B, a fortiori de deux fonctions de M.
(6) On cherche à construire directement une fonction continue nulle part dérivable.
Soit la fonction définie, pour 0 < a < 1 et b > 0, par :
F(t) =
∞
k=0
a
k exp(ib
k t).
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