THÉORÈMES
FONDAMENTAUX
II
1 ÉNONCÉS
Exercice II.1
Soit E un espace métrique complet, donc de Baire (Tout G δ dense, i.e. toute intersection
dénombrable d’ouverts denses dans E, est dense dans E, cf. P 2.12).
(1) (i) (Question préliminaire). Montrer qu’un ouvert non-vide O de E est encore
un espace de Baire (indication : si (O n ) est une suite d’ouverts de O denses
dans O et A un ouvert non-vide de O, considérer les ouverts ω n = O n ∪ O
c et
observer que ω n ∩ A = O n ∩ A).
(ii) On définit la fonction oscillation ω(g, .) d’une fonction g : E → C par la
formule (où B(x 0 , r) est la boule fermée de centre x 0 et de rayon r) :
ω(g, x 0 ) = inf
r>0
ω r (g, x 0 ) avec ω r (g, x 0 ) = sup{|g(x) − g(y)|; x, y ∈ B(x 0 , r)}.
Montrer que g est continue au point x 0 si et seulement si ω(g, x 0 ) = 0, et que
de plus la fonction ω est sous-additive :
ω(g 1 + g 2 , x 0 ) ≤ ω(g 1 , x 0 ) + ω(g 2 , x 0 ) pour tous g 1 , g 2 , x 0 .
(iii) Montrer que l’ensemble O ε = {x; ω(g, x) < ε} est ouvert pour tout ε > 0.
(iv) Si O est un ouvert non-vide de E, g/O = h la restriction de g à O et x 0 ∈ O,
montrer que
ω(g, x 0 ) = ω(h, x 0 ).
Soit maintenant ( f n ) n∈N une suite de fonctions continues : E → C qui converge simplement vers une fonction f : E → C.
On se propose de montrer que l’ensemble des points de continuité de f est un G δ
dense dans E.
Pour ε > 0 et n ∈ N, on pose
A N,ε = {x ∈ E tels que ∀n, p ≥ N, | f n (x) − f p (x)| ≤ ε}.
On note int(A N,ε ) l’intérieur de A N,ε .
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