Chapitre I • Espaces normés
(2) Les ensembles E n sont définis à partir des points a et b. Définissons de même des
ensembles F n à partir des points T (a) et T (b). Le caractère isométrique et surjectif de T
fait que F n = T (E n ) comme on le vérifie immédiatement par récurrence. D’où, T étant
injective car isométrique :
T
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
E n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
∞
n=1
F n , soit T
a + b
2
=
T (a) + T (b)
2
.
(I.16)
Le reste est facile : prenant a = 2x, b = 0 dans (I.16), on obtient T (2x) = 2T (x) pour
tout x ∈ E. Puis revenant à (I.16) avec a, b changés en 2a, 2b, on voit que
T (a + b) =
T (2a) + T (2b)
2
= T (a) + T (b), ∀a, b ∈ E.
Il en résulte que
T (rx) = rT (x) ∀x ∈ E, ∀r ∈ Q,
puis T (rx) = rT (x) ∀x ∈ E, ∀r ∈ R par densité de Q dans R et continuité de T . On a bien
montré que T est R-linéaire.
(3) Soit, pour r > 0, S r la sphère de centre 0 et de rayon r. Elle est compacte puisque
E est de dimension finie. Et puisque
T (x) = T (x) − T (0) = x − 0 = x,
on voit que T induit une isométrie de S r dans elle-même, forcément surjective car toute
isométrie d’un espace métrique compact dans lui-même est surjective. Il en résulte que
T : E → E est surjective, et on est ramené à la question précédente.
(4) On a par construction T (0) = 0, ainsi que, si x = (x n ), y = (y n ) ∈ E :
T (x) − T (y) = max(| sin x 0 − sin y 0 |, x − y).
Mais | sin x 0 − sin y 0 | ≤ |x 0 − y 0 | ≤ ≤x − y, si bien que le sinus n’a aucun effet sur la
norme de T (x) − T (y) et que
T (x) − T (y) = x − y.
Par suite, T est une isométrie (non-surjective) préservant l’origine, mais elle n’est pas
linéaire à cause du terme en sinus qu’on a mis exprès pour détruire cette linéarité. Pourtant, ici, E est complet.
Remarque : Si l’isométrie surjective T ne préserve pas l’origine, elle est affine, comme
on le voit en considérant S (x) = T (x) − T (0), isométrie surjective préservant l’origine,
donc linéaire.
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(2) Les ensembles E n sont définis à partir des points a et b. Définissons de même des
ensembles F n à partir des points T (a) et T (b). Le caractère isométrique et surjectif de T
fait que F n = T (E n ) comme on le vérifie immédiatement par récurrence. D’où, T étant
injective car isométrique :
T
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
E n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
∞
n=1
F n , soit T
a + b
2
=
T (a) + T (b)
2
.
(I.16)
Le reste est facile : prenant a = 2x, b = 0 dans (I.16), on obtient T (2x) = 2T (x) pour
tout x ∈ E. Puis revenant à (I.16) avec a, b changés en 2a, 2b, on voit que
T (a + b) =
T (2a) + T (2b)
2
= T (a) + T (b), ∀a, b ∈ E.
Il en résulte que
T (rx) = rT (x) ∀x ∈ E, ∀r ∈ Q,
puis T (rx) = rT (x) ∀x ∈ E, ∀r ∈ R par densité de Q dans R et continuité de T . On a bien
montré que T est R-linéaire.
(3) Soit, pour r > 0, S r la sphère de centre 0 et de rayon r. Elle est compacte puisque
E est de dimension finie. Et puisque
T (x) = T (x) − T (0) = x − 0 = x,
on voit que T induit une isométrie de S r dans elle-même, forcément surjective car toute
isométrie d’un espace métrique compact dans lui-même est surjective. Il en résulte que
T : E → E est surjective, et on est ramené à la question précédente.
(4) On a par construction T (0) = 0, ainsi que, si x = (x n ), y = (y n ) ∈ E :
T (x) − T (y) = max(| sin x 0 − sin y 0 |, x − y).
Mais | sin x 0 − sin y 0 | ≤ |x 0 − y 0 | ≤ ≤x − y, si bien que le sinus n’a aucun effet sur la
norme de T (x) − T (y) et que
T (x) − T (y) = x − y.
Par suite, T est une isométrie (non-surjective) préservant l’origine, mais elle n’est pas
linéaire à cause du terme en sinus qu’on a mis exprès pour détruire cette linéarité. Pourtant, ici, E est complet.
Remarque : Si l’isométrie surjective T ne préserve pas l’origine, elle est affine, comme
on le voit en considérant S (x) = T (x) − T (0), isométrie surjective préservant l’origine,
donc linéaire.
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