2. Solutions
e
- 1
y
0
y
y Ln (y)
x Ln (x)
x
x
Fonction ϕ(x) = x ln x
Une étude plus précise, mais plus délicate, montrerait que l’on a
p α (ϕ) ≤ (α(1 − α))
−1
.
(I.14)
Remarque : La fonction ϕ (qui montre que Lip 1
α<1 Lip α ) offre aussi un exemple
élémentaire intéressant de fonction de la classe de Zygmund Λ définie comme suit
(C = C f désignant une constante dépendant de f ) :
Λ = { f ∈ C[0, 1]; | f (x + h) + f (x − h) − 2 f (x)| ≤ Ch, ∀ 0 ≤ h ≤ x ≤ x + h ≤ 1}.
Autrement dit, on récupère le côté O(h) dès qu’on passe aux différences secondes.
En effet, la formule de Taylor avec reste intégrale à l’ordre 2 nous donne ici, pour
0 < h < x < x + h ≤ 1, et pour la fonction f = ϕ qui vérifie f
(u) =
1
u ≥ 0 :
| f (x + h) + f (x − h) − 2 f (x)| = h
2
1
0
(1 − t)
f
(x + th) + f
(x − th)
dt
= h
2
1
0
(1 − t)
1
x + th
+
1
x − th
dt ≤ h
2
1
0
(1 − t)
1
h + th
+
1
h − th
dt
= h
1
0
1 − t
1 + t
+ 1
dt = (2 ln 2)h.
Et on montre facilement que Λ ⊂
0<α<1 Lip α , ce qui redonne les inclusions précédentes.
Voici comment : on pose, pour 0 ≤ h ≤ 1 :
ω(h) =
sup
x,y∈[0,1],|x−y|≤h
| f (x) − f (y)|.
Puis on part de l’identité
f (x + h) − f (x) =
f (x + 2h) − f (x)
2
−
f (x + 2h) − 2 f (x + h) + f (x)
2
.
En prenant les modules, puis le sup sur x, on en déduit
ω(h) ≤
1
2
ω(2h) +
1
2
Ch ≤
1
2
ω(2h) + Ch.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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