Chapitre I • Espaces normés
En itérant cette propriété, on obtient par récurrence :
ω(h) ≤
1
2 n ω(2
n h) + Cnh ≤
1
2 n 2 f ∞ + Cnh.
En choisissant pour n le plus grand entier tel que n2
n
≤
1
h (optimisation par rapport au
paramètre n), on obtient l’existence d’une constante K > 0, ne dépendant que de f , telle
que
ω(h) ≤ Kh ln
1
h
, pour tout 0 < h <
1
2
.
Et cela entraîne immédiatement que f ∈
0<α<1 Lip α .
(4) (i) Lip β ⊆ C([0, 1]).
Voir Ex. I.6.
(ii) Lip α ⊆ Lip β .
Si β < α, alors |x − y|
−β
≤ |x − y|
−α donc, si p α ( f ) est fini, p β ( f ) l’est aussi.
(iii) C
1 ([0, 1]) ⊆ Lip α .
On utilise le théorème des accroissements finis et la continuité de f
sur le compact
[0, 1], qui implique sup{| f
(t)|, t ∈ [0, 1]} = M < ∞ :
Pour tout x, y ∈ [0, 1], | f (x) − f (y)| ≤ M|x − y| ≤ M|x − y|
α
,
car |x − y| ≤ 1, donc |x − y| ≤ |x − y|
α .
(iv) Inclusions strictes.
Les fonctions étudiées en (1) montrent l’inclusion stricte Lip α ⊂ Lip β .
Les fonctions étudiées en (1) ne sont pas différentiables en x = 0, alors elles montrent
l’inclusion stricte C
1 ([0, 1]) ⊂ Lip α .
La fonction étudiée en (2) est continue sur [0, 1], mais n’est dans aucun des Lip α . Elle
établit donc l’inclusion stricte Lip α ⊂ C([0, 1]).
Exercice I.8
(1) Le seul axiome qui pose problème ici est N( x) = 0 =⇒ x = 0. Et la validité de cet
axiome tient au caractère fermé de M : on voit en effet que
N( x) = 0 =⇒ d(x, M) = 0 =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈ M =⇒ x = 0.
Soit maintenant ( x n ) n∈N ∗ une série absolument convergente dans E/M. Pour chaque n, on
peut choisir x n ∈ x n tel que x n ≤ N( x n ) + 2
−n , et on a donc
∞
n=1 x n < ∞. Comme E
est complet, il existe S ∈ E tel que
lim
N→∞
N
n=1
x n − S = 0.
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