Chapitre I • Espaces normés
(iii) Si α < γ, f α Lip γ .
On a pour y = 0 et x 0, p γ ( f α ) ≥
x
α
x γ = x
α−γ
→ ∞ quand x → 0 car α − γ < 0. D’où
p γ ( f α ) = +∞ et f α Lip γ .
(2) La fonction g définie par [ g(x) = (ln(
x
2 ))
−1 si x 0 et g(0) = 0 ] est continue sur
[0, 1]. D’autre part pour tout x ∈ [0, 1], p α (g) ≥
g(x)
x α . Or on a :
Pour tout α > 0,
g(x)
x α =
1
x α ln(
x
2 )
→ +∞ lorsque x → 0
+
.
D’où p α (g) = +∞, et g
(Lip α , 0 < α ≤ 1).
(3) (i) ϕ C
1 ([0, 1]).
On a l’inclusion C
1 ([0, 1]) ⊂ Lip 1 d’après le théorème des accroissements finis. Donc,
cette question résultera de celle d’après.
(ii) ϕ Lip 1 .
On cherche aussi le comportement au voisinage de 0, c’est-à-dire celui de la fonction
|ϕ(x)−ϕ(0)|
|x| 1
= | ln(x)|. Le second membre tend vers +∞ lorsque x → 0 ; donc ϕ Lip 1 .
(iii) Pour α ∈]0, 1[, ϕ ∈ Lip α .
(a) Graphe de ϕ.
x
x
y
y
0
e
e
- 1
- 1
-
Fonction ϕ(x) = x ln x
La fonction ϕ est continue sur [0, 1]. Sa dérivée, pour x 0, est ϕ
(x) = ln(x)+1. Suivant
l’indication de l’énoncé, on a pour 0 < x ≤ y ≤ 1 :
|ϕ(y) − ϕ(x)| =
y
x
ϕ
(t)dt
≤
y
x
(| ln t| + 1)dt
≤
y
x
(1 + C α t
α−1 )dt = y − x +
C α
α
(y
α
− x
α ) ≤ y − x +
C α
α
(y − x)
α
,
en utilisant l’inégalité (I.13) qu’on vient de voir. D’où (en posant K α = 1 +
C α
α et en
notant que y − x ≤ |y − x|
α ) l’inégalité |ϕ(y) − ϕ(x)| ≤ K α |y − x|
α , qui prouve bien que,
pour 0 < α < 1, on a ϕ ∈ Lip α .
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