2. Solutions
(ii) g n 1 =
1
2n(n+1) comme on l’a déjà vu. Cette dernière fraction est le terme général d’une série convergente. La série de terme général g n est donc absolument convergente. Elle est non-convergente dans E car sinon la suite f n = f 1 +
j=n−1
j=1 g j convergerait
dans E.
Remarque I.1 : Lors de l’étude des séries numériques, on apprend que la convergence
absolue entraîne la convergence ; ceci ne reste pas vrai dans un espace normé arbitraire
mais la question (1) montre que l’hypothèse « espace de Banach » pour E est nécessaire
et suffisante pour que cette implication soit toujours vraie.
Remarque I.2 : Le langage de la convergence absolue a été utilisé dans cet exercice,
conformément à la définition (D 1.16), pour les séries de fonctions continues sur [−1, 1].
Il convient de faire attention à la terminologie usuelle :
(1)
n f n absolument convergente dans (C([−1, 1], ), au sens du cours (D 1.16).
(2)
n f n absolument convergente dans (C([−1, 1], ∞ ), on dit souvent qu’elle est normalement convergente.
(3) Si x ∈ [−1, 1],
n | f n (x)| converge,
n f n (x) est absolument convergente dans l’espace normé R ou C muni de la norme module | |.
Exercice I.5
(1) Il faut vérifier les axiomes de norme (D 1.2) :
(i) Pour toute f ∈ H(D), N( f ) ∈ R
+ .
(ii) [N( f ) = 0] ⇒ [ f = 0] : Si N( f ) = 0, alors f (z) = 0 pour tout z tel que |z| ≤
1
2 .
D’après le théorème des zéros isolés, pour tout z ∈ D, f (z) = 0, i.e. f = 0.
(iii) Les autres axiomes sont faciles à vérifier.
(2) Considérons la série de terme général u n , avec u n (z) = z
n pour n ≥ 0 et
z ∈ D. Montrons que cette série est absolument convergente, mais non-convergente, dans
(H(D), N). Il résultera alors de l’exercice (P 2.1) précédent que (H(D), N) n’est pas complet. On a clairement N(u n ) = 2
−n , donc la série est absolument convergente. Supposons
qu’elle converge vers g dans (H(D), N). Cela signifie que f n (z) =
n
k=0 z
k converge vers
g(z) uniformément, en particulier simplement, sur l’ensemble {z; |z| ≤
1
2 }
de f
= A. Comme
par ailleurs z ∈ A =⇒ f n (z) =
1−z
n+1
1−z →
1
1−z , on voit que z ∈ A =⇒ g(z) =
1
1−z . Par unicité
du prolongement analytique, l’égalité reste vraie si |z| < 1. Mais cela est impossible !
Car, quand z
<
−→ 1, g(z) tend vers g(1), donc reste bornée, alors que
1
1−z → +∞. Cette
contradiction montre que g n’existe pas, et achève la question.
Exercice I.6
(1) Pour f fixée, on note k = p α ( f ). La définition de p α ( f ) entraîne l’inégalité
Pour tous x, y, | f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|
α
.
Ceci entraîne la continuité de f .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
35
(ii) g n 1 =
1
2n(n+1) comme on l’a déjà vu. Cette dernière fraction est le terme général d’une série convergente. La série de terme général g n est donc absolument convergente. Elle est non-convergente dans E car sinon la suite f n = f 1 +
j=n−1
j=1 g j convergerait
dans E.
Remarque I.1 : Lors de l’étude des séries numériques, on apprend que la convergence
absolue entraîne la convergence ; ceci ne reste pas vrai dans un espace normé arbitraire
mais la question (1) montre que l’hypothèse « espace de Banach » pour E est nécessaire
et suffisante pour que cette implication soit toujours vraie.
Remarque I.2 : Le langage de la convergence absolue a été utilisé dans cet exercice,
conformément à la définition (D 1.16), pour les séries de fonctions continues sur [−1, 1].
Il convient de faire attention à la terminologie usuelle :
(1)
n f n absolument convergente dans (C([−1, 1], ), au sens du cours (D 1.16).
(2)
n f n absolument convergente dans (C([−1, 1], ∞ ), on dit souvent qu’elle est normalement convergente.
(3) Si x ∈ [−1, 1],
n | f n (x)| converge,
n f n (x) est absolument convergente dans l’espace normé R ou C muni de la norme module | |.
Exercice I.5
(1) Il faut vérifier les axiomes de norme (D 1.2) :
(i) Pour toute f ∈ H(D), N( f ) ∈ R
+ .
(ii) [N( f ) = 0] ⇒ [ f = 0] : Si N( f ) = 0, alors f (z) = 0 pour tout z tel que |z| ≤
1
2 .
D’après le théorème des zéros isolés, pour tout z ∈ D, f (z) = 0, i.e. f = 0.
(iii) Les autres axiomes sont faciles à vérifier.
(2) Considérons la série de terme général u n , avec u n (z) = z
n pour n ≥ 0 et
z ∈ D. Montrons que cette série est absolument convergente, mais non-convergente, dans
(H(D), N). Il résultera alors de l’exercice (P 2.1) précédent que (H(D), N) n’est pas complet. On a clairement N(u n ) = 2
−n , donc la série est absolument convergente. Supposons
qu’elle converge vers g dans (H(D), N). Cela signifie que f n (z) =
n
k=0 z
k converge vers
g(z) uniformément, en particulier simplement, sur l’ensemble {z; |z| ≤
1
2 }
de f
= A. Comme
par ailleurs z ∈ A =⇒ f n (z) =
1−z
n+1
1−z →
1
1−z , on voit que z ∈ A =⇒ g(z) =
1
1−z . Par unicité
du prolongement analytique, l’égalité reste vraie si |z| < 1. Mais cela est impossible !
Car, quand z
<
−→ 1, g(z) tend vers g(1), donc reste bornée, alors que
1
1−z → +∞. Cette
contradiction montre que g n’existe pas, et achève la question.
Exercice I.6
(1) Pour f fixée, on note k = p α ( f ). La définition de p α ( f ) entraîne l’inégalité
Pour tous x, y, | f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|
α
.
Ceci entraîne la continuité de f .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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