Chapitre I • Espaces normés
Alors, si la série est absolument convergente, T p − T q → 0 quand p, q → ∞, et (I.10)
montre que S p − S q → 0 quand p, q → ∞, autrement dit S n est de Cauchy, et converge.
(ii) Si toute série de E absolument convergente est convergente, E est complet.
Soit une suite de Cauchy arbitraire (x n ) n∈N ∗ , il s’agit de montrer qu’elle est convergente.
Par (2), il existe une sous-suite (y p ) p∈N ∗ de (x n ) vérifiant y p+1 − y p ≤ 2
−p , et la série de
terme général y p+1 − y p est absolument convergente, donc convergente. Donc, la suite de
terme général y p = y 1 +
p−1
j=1 (y j+1 − y j ) est convergente. D’après (1), la suite (x n ) n∈N ∗
est convergente.
(4) (i) La réalisation préalable du graphe de f n montre le résultat.
y
0
1
1
f n+p
f n
-1
1/n
x
La suite ( f n ) est croissante et pour tout x ∈]0, 1], lim n→∞ f n (x) = 1.
Pour n ∈ N
∗
, f n+1 − f n 1 =
1
2
(
1
n
−
1
n+1
) =
1
2n(n+1)
(aire du triangle hachuré) ; la suite ( f n )
est donc de Cauchy, car la série de terme général égal à f n+1 − f n 1 est convergente.
Soit g ∈ E. On ne peut avoir à la fois g = 0 sur [−1, 0] et g = 1 sur ]0, 1], sinon g serait
discontinue en 0 (c’est bien là le hic). Donc, on peut par exemple trouver t 0 ∈]0, 1] tel
que g(t 0 ) 1 et par continuité un intervalle J = [a, b] ⊂]0, 1] contenant t 0 , de longueur
l = b − a > 0, et un nombre c > 0 tels que
t ∈ J =⇒ |g(t) − 1| ≥ c.
Pour n ≥
1
a
, on a f n = 1 sur J, d’où
f n − g 1 =
1
−1
| f n (t) − g(t)|dt ≥
J
| f n (t) − g(t)|dt
=
J
|1 − g(t)|dt ≥
J
cdt = cl > 0,
ce qui montre que f n ne peut converger vers g dans E muni de la norme L
1 . L’espace E
est donc non-complet pour cette norme.
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Alors, si la série est absolument convergente, T p − T q → 0 quand p, q → ∞, et (I.10)
montre que S p − S q → 0 quand p, q → ∞, autrement dit S n est de Cauchy, et converge.
(ii) Si toute série de E absolument convergente est convergente, E est complet.
Soit une suite de Cauchy arbitraire (x n ) n∈N ∗ , il s’agit de montrer qu’elle est convergente.
Par (2), il existe une sous-suite (y p ) p∈N ∗ de (x n ) vérifiant y p+1 − y p ≤ 2
−p , et la série de
terme général y p+1 − y p est absolument convergente, donc convergente. Donc, la suite de
terme général y p = y 1 +
p−1
j=1 (y j+1 − y j ) est convergente. D’après (1), la suite (x n ) n∈N ∗
est convergente.
(4) (i) La réalisation préalable du graphe de f n montre le résultat.
y
0
1
1
f n+p
f n
-1
1/n
x
La suite ( f n ) est croissante et pour tout x ∈]0, 1], lim n→∞ f n (x) = 1.
Pour n ∈ N
∗
, f n+1 − f n 1 =
1
2
(
1
n
−
1
n+1
) =
1
2n(n+1)
(aire du triangle hachuré) ; la suite ( f n )
est donc de Cauchy, car la série de terme général égal à f n+1 − f n 1 est convergente.
Soit g ∈ E. On ne peut avoir à la fois g = 0 sur [−1, 0] et g = 1 sur ]0, 1], sinon g serait
discontinue en 0 (c’est bien là le hic). Donc, on peut par exemple trouver t 0 ∈]0, 1] tel
que g(t 0 ) 1 et par continuité un intervalle J = [a, b] ⊂]0, 1] contenant t 0 , de longueur
l = b − a > 0, et un nombre c > 0 tels que
t ∈ J =⇒ |g(t) − 1| ≥ c.
Pour n ≥
1
a
, on a f n = 1 sur J, d’où
f n − g 1 =
1
−1
| f n (t) − g(t)|dt ≥
J
| f n (t) − g(t)|dt
=
J
|1 − g(t)|dt ≥
J
cdt = cl > 0,
ce qui montre que f n ne peut converger vers g dans E muni de la norme L
1 . L’espace E
est donc non-complet pour cette norme.
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