2. Solutions
L’inégalité triangulaire nous montre alors que
x, y ≥ A =⇒ | f (x) − f (y)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x) − g(y)| + |g(y) − f (y)|
≤ 2 f − g ∞ + |g(x) − g(y)| ≤ 2ε + ε = 3ε.
Puisque ε est arbitraire, on voit que f vérifie le critère de Cauchy à l’infini, et donc y
possède une limite, i.e. f ∈ G. CQFD
(4) H est un sous-espace vectoriel fermé de G.
Ceci est facile : soit f ∈ H ∩ G et ε > 0. Il existe g ∈ H telle que f − g ∞ ≤ ε et, puisque
g ∈ H, A = A(ε) > 0 tel que pour tout x ≥ A, |g(x)| ≤ ε. L’inégalité triangulaire nous
montre alors que
x ≥ A =⇒ | f (x)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x)| ≤ ≤ f − g ∞ + |g(x)| ≤ 2ε.
Exercice I.4
(1) Avec les notations de l’énoncé, soit ε > 0.
Il existe N(ε) tel que n, m > N(ε) ⇒ ⇒x n − x m ≤ ε.
(I.8)
Notons y p = x n(p) , où (n(p)) p∈N ∗ est une sous-suite croissante de N
∗ . Il existe un entier
P(ε) tel que
p > P(ε) =⇒ n(p) > N(ε) et y p − y ≤ ε.
Utilisons ceci pour comparer y à x n pour n assez grand. Soit donc n > N(ε) et p > P(ε).
Nous avons via (I.8) :
y − x n ≤ ≤y − y p + y p − x n ≤ 2ε,
(I.9)
ce qui montre que lim n→∞ x n = y.
(2) Il s’agit de fabriquer une sous-suite de (x n ) « rapidement » de Cauchy. Pour ceci
on utilise le caractère de Cauchy de la suite (x n ) pour ε p = 2
−p . Pour tout p ∈ N
∗ , il
existe N p ∈ N
∗ tel que, pour j, k ≥ N p , x j − x k ≤ 2
−p .
On pose
m p = max(N 1 , . . . , N p ) + p et y p = x m p .
Alors, la suite (m p ) p∈N ∗ est strictement croissante et, comme min(m p , m p+1 ) ≥ N p , on a
y p+1 − y p ≤ 2
−p .
(3) Deux implications sont à prouver.
(i) Si E est complet, toute série absolument convergente est convergente.
Soit
∞
n=1 u n une série absolument convergente. Notons S n =
n
k=1 u k et T n =
n
k=1 u k .
La clé est l’inégalité suivante, conséquence évidente de l’inégalité triangulaire :
q ≥ p =⇒ ⇒S q − S p ≤ T q − T p .
(I.10)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
33
L’inégalité triangulaire nous montre alors que
x, y ≥ A =⇒ | f (x) − f (y)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x) − g(y)| + |g(y) − f (y)|
≤ 2 f − g ∞ + |g(x) − g(y)| ≤ 2ε + ε = 3ε.
Puisque ε est arbitraire, on voit que f vérifie le critère de Cauchy à l’infini, et donc y
possède une limite, i.e. f ∈ G. CQFD
(4) H est un sous-espace vectoriel fermé de G.
Ceci est facile : soit f ∈ H ∩ G et ε > 0. Il existe g ∈ H telle que f − g ∞ ≤ ε et, puisque
g ∈ H, A = A(ε) > 0 tel que pour tout x ≥ A, |g(x)| ≤ ε. L’inégalité triangulaire nous
montre alors que
x ≥ A =⇒ | f (x)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x)| ≤ ≤ f − g ∞ + |g(x)| ≤ 2ε.
Exercice I.4
(1) Avec les notations de l’énoncé, soit ε > 0.
Il existe N(ε) tel que n, m > N(ε) ⇒ ⇒x n − x m ≤ ε.
(I.8)
Notons y p = x n(p) , où (n(p)) p∈N ∗ est une sous-suite croissante de N
∗ . Il existe un entier
P(ε) tel que
p > P(ε) =⇒ n(p) > N(ε) et y p − y ≤ ε.
Utilisons ceci pour comparer y à x n pour n assez grand. Soit donc n > N(ε) et p > P(ε).
Nous avons via (I.8) :
y − x n ≤ ≤y − y p + y p − x n ≤ 2ε,
(I.9)
ce qui montre que lim n→∞ x n = y.
(2) Il s’agit de fabriquer une sous-suite de (x n ) « rapidement » de Cauchy. Pour ceci
on utilise le caractère de Cauchy de la suite (x n ) pour ε p = 2
−p . Pour tout p ∈ N
∗ , il
existe N p ∈ N
∗ tel que, pour j, k ≥ N p , x j − x k ≤ 2
−p .
On pose
m p = max(N 1 , . . . , N p ) + p et y p = x m p .
Alors, la suite (m p ) p∈N ∗ est strictement croissante et, comme min(m p , m p+1 ) ≥ N p , on a
y p+1 − y p ≤ 2
−p .
(3) Deux implications sont à prouver.
(i) Si E est complet, toute série absolument convergente est convergente.
Soit
∞
n=1 u n une série absolument convergente. Notons S n =
n
k=1 u k et T n =
n
k=1 u k .
La clé est l’inégalité suivante, conséquence évidente de l’inégalité triangulaire :
q ≥ p =⇒ ⇒S q − S p ≤ T q − T p .
(I.10)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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