Chapitre I • Espaces normés
(1) Vérification du caractère de norme :
(i) f ∞ ∈ R
+ . f est par définition bornée, donc f ∞ ∈ R
+ .
(ii) [ f ∞ = 0] ⇔ [ f = 0].
[ f ∞ = 0] ⇔ [sup
x∈R +
| f (x)| = 0] ⇔ [∀x ∈ R
+
, f (x) = 0] ⇔ [ f = 0].
(iii) ∀λ ∈ C, λ f ∞ = |λ| |λ f ∞ .
sup{|λ f (x)|; x ∈ R
+
} = |λ| sup{| f (x)|; x ∈ R
+
} = |λ| | f ∞ .
(iv) f + g ∞ ≤ ≤ f ∞ + g ∞ .
f + g ∞ = sup{| f (x) + g(x)|; x ∈ R
+
}
≤ sup{| f (x)|; x ∈ R
+
} + sup{|g(x)|; x ∈ R
+
},
d’où f + g ∞ ≤ ≤ f ∞ + g ∞ .
(v) E complet. Soit ( f n ) n∈N ∗ ⊂ E une suite de Cauchy, alors
Pour tout ε > 0, il existe N(ε) ∈ N
∗ ; p, q ≥ N(ε) =⇒ ⇒ f p − f q ∞ ≤ ε. (I.6)
D’où, pour tous p, q ≥ N(ε), pour tout x ∈ R
+
, | f p (x) − f q (x)| ≤ ε.
(I.7)
Par conséquent la suite numérique ( f n (x)) n∈N ∗ est de Cauchy dans C, donc convergente
vers une limite f (x). Quand q → ∞ dans (I.7), on obtient
Pour tout p ≥ N(ε), pour tout x ∈ R
+
, | f p (x) − f (x)| ≤ ε.
Cela montre que f p − f ∈ E et donc que f ∈ E, puisque E est un espace vectoriel.
Maintenant qu’on sait que f ∈ E, l’inégalité précédente se lit :
Pour tout p ≥ N(ε), f p − f ∞ ≤ ε,
ce qui montre que la suite ( f n ) n∈N ∗ converge vers f pour la norme ∞ .
(2) F est un sous-espace vectoriel de E complet. Il suffit donc de montrer que F est
fermé dans E. Mais ceci est évident, car on sait qu’une limite uniforme de fonctions
continues est une fonction continue.
(3) Si l’on montre que G ⊂ F est fermé dans F, on pourra appliquer la question
précédente.
(ii) G fermé dans F.
Soit f ∈ G ∩ F et ε > 0. Il existe g ∈ G telle que f − g ∞ ≤ ε et, puisque g ∈ G,
A = A(ε) > 0 tel que
Pour tous x, y ≥ A, |g(x) − g(y)| ≤ ε.
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